Сколько существует вариантов составить гирлянду из 8 флажков таким образом, чтобы все серые флажки находились рядом?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Давайте разобьем ее на несколько шагов:

Шаг 1: Расставить серые флажки в одну группу.
У нас есть 3 серых флажка, и мы хотим, чтобы они находились рядом. Мы можем рассматривать эту группу серых флажков, как один "мега-флажок". Теперь у нас есть 6 флажков вместо 8.

Шаг 2: Расставить 6 флажков вместе с "мега-флажком".
У нас осталось 6 флажков, которые должны быть расставлены вместе с "мега-флажком". Мы можем рассматривать их как 7 фиксированных мест (6 флажков и "мега-флажок"). Мы можем разместить остальные флажки на этих местах.

Шаг 3: Найти количество вариантов расставить остальные флажки.
У нас есть 6 флажков, которые нужно разместить на 7 местах. Мы можем использовать перестановки для нахождения количества вариантов. Формула для перестановок: \(P(n, r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}\), где \(n\) - количество элементов, \(r\) - количество мест.

В нашем случае, \(n = 7\) (места, куда мы расставляем флажки) и \(r = 6\) (количество оставшихся флажков). Теперь мы можем вычислить:

\[
P(7, 6) = \frac{{7!}}{{(7-6)!}} = \frac{{7!}}{{1!}} = 7!
\]

Вычислим факториал числа 7:

\[
7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040
\]

Таким образом, есть 5040 вариантов расставить флажки на 7 местах.

Шаг 4: Учитываем все возможные расстановки серых флажков.
Вернемся к шагу 1, в котором мы объединили серые флажки в одну группу. Теперь мы должны учитывать все возможные перестановки серых флажков внутри этой группы. У нас есть 3 серых флажка, которые могут быть расставлены между собой.

Для этого мы можем использовать факториал числа 3: \(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\)

Таким образом, у нас есть 6 вариантов расстановки серых флажков в группе.

Шаг 5: Умножаем результаты всех шагов.
Чтобы найти общее количество вариантов составить гирлянду, мы должны перемножить результаты всех шагов:

Общее количество вариантов = количество вариантов шага 4 \(\times\) количество вариантов шага 3

Общее количество вариантов = 6 \(\times\) 5040 = 30240

Итак, есть 30240 вариантов составить гирлянду из 8 флажков таким образом, чтобы все серые флажки находились рядом. Ответ: Г) 4320.