Сколько существует уникальных последовательностей из 6 символов, состоящих из алфавита, включающего только четыре буквы

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определить количество уникальных комбинаций для одной буквы
Для каждой буквы из алфавита можно составить только одну уникальную последовательность, так как в данном случае у нас нет повторений букв.

Шаг 2: Определить количество уникальных комбинаций для двух букв
Для каждой комбинации из двух букв можно составить две уникальные последовательности. Например, AB и BA — это две разные последовательности. Таким образом, для двух букв имеется \(2 \times 2 = 4\) уникальные комбинации.

Шаг 3: Определить количество уникальных комбинаций для трех букв
Для трех букв уже сложнее определить количество уникальных комбинаций. Мы можем использовать сочетания. В данном случае, чтобы выбрать три буквы из четырех, мы используем сочетания без повторений. Обозначим это как \({C_3^4}\), что означает "количество сочетаний 3 выбранных элементов из 4 элементов".

Формула для сочетаний без повторений: \({C_k^n} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\), где \(n\) — общее количество элементов, а \(k\) — количество выбранных элементов.

Подставим значения в формулу: \({C_3^4} = \frac{{4!}}{{3! \cdot (4-3)!}} = \frac{{4!}}{{3! \cdot 1!}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}} = 4\).

Таким образом, имеется 4 уникальные комбинации для трех букв.

Шаг 4: Определить количество уникальных комбинаций для четырех букв
Для четырех букв можно составить только одну уникальную последовательность, так как все буквы разные.

Шаг 5: Определить общее количество уникальных последовательностей из 6 символов, содержащих ровно три буквы
Теперь мы можем объединить результаты предыдущих шагов.

Общее количество уникальных последовательностей можно определить, сложив количество уникальных комбинаций для одной, двух, трех и четырех букв:
\(1 + 4 + 4 + 1 = 10\).

Таким образом, существует 10 уникальных последовательностей из 6 символов, состоящих из алфавита {A, B, C, D} и содержащих ровно три буквы.

Было бы полезно для вас подробнее?