Сколько существует троек (a,b,c) ∈ Zₙ³ , таких что abc ≡ 43 (mod n), где n=2021²?

Дана задача о нахождении количества троек целых чисел (a, b, c) из числового множества Zₙ³, таких что произведение этих чисел по модулю n равно 43, где n равно 2021 в квадрате.

Для решения этой задачи воспользуемся китайской теоремой об остатках, которая позволяет рассматривать систему линейных сравнений по отдельности и затем объединять их в одно решение.

Сначала разложим число n = 2021² на независимые множители. Поскольку коэффициент 43 в уравнении очень мал по сравнению с n, мы можем предположить, что это число в разложении будет простым. В данном случае, 43 - простое число.

Теперь рассмотрим по отдельности систему уравнений вида:
\[abc \equiv 43 (mod\ p)\]
где p - простой множитель числа n.

Затем, решим систему уравнений для каждого простого множителя, получив требуемое количество троек чисел для каждого простого множителя, а затем объединим их в общее решение.

Решение системы уравнений abc ≡ 43 (mod p) заключается в следующем:
1. Если p не делит 43, то троек (a, b, c) не существует, так как произведение чисел будет отличаться от 43 по модулю p.
2. Если p делит 43, то найдем количество возможных значений для каждой переменной по отдельности и перемножим их.

Рассмотрим простой множитель p = 43 для n.

Для переменной a:
Поскольку p делит 43, a может принимать любое значение от 0 до p-1 (включая границы), т.е. 0 ≤ a ≤ 42. Таким образом, есть 43 возможных значений для переменной a.

Для переменных b и c:
Для каждого значения a мы можем найти соответствующую пару (b, c), удовлетворяющую уравнению abc ≡ 43 (mod p). Это можно сделать путем перебора значений b и вычисления c = a^(-1) * 43 * b (mod p), где a^(-1) - обратное значение для a по модулю p.

Таким образом, для каждого значения a есть ровно одна пара (b, c), которая удовлетворяет уравнению. Поэтому количество троек (a, b, c) удовлетворяющих abc ≡ 43 (mod p) равно количеству значений a, т.е. 43.

Поскольку мы рассматривали систему уравнений по отдельности для каждого простого множителя, мы можем перемножить количество троек для каждого множителя. В данном случае, у нас только один простой множитель - это число 43. Поэтому общее количество троек (a, b, c), удовлетворяющих abc ≡ 43 (mod n), где n = 2021², будет равно 43 в квадрате, т.е. 1849.

Итак, существует 1849 троек (a, b, c) из числового множества Zₙ³, таких что произведение этих чисел по модулю n равно 43, где n равно 2021 в квадрате.