Сколько существует трехзначных чисел, которые одновременно обладают двумя свойствами: сумма цифр этого числа совпадает

Давайте пошагово решим эту задачу.

Шаг 1: Выясним, какие числа удовлетворяют первому условию задачи. Нам нужно найти числа, сумма цифр которых равна числу, состоящему из их первых двух цифр. Чтобы понять это, переберем все трехзначные числа и проверим каждое из них.

Итак, переберем все трехзначные числа:

100: 1 + 0 = 1 ≠ 10 (не подходит)
101: 1 + 0 = 1 = 10 (подходит)
102: 1 + 0 ≠ 2 (не подходит)
103: 1 + 0 = 1 ≠ 10 (не подходит)
104: 1 + 0 = 1 ≠ 10 (не подходит)
...
110: 1 + 1 = 2 = 11 (подходит)
111: 1 + 1 = 2 ≠ 11 (не подходит)
112: 1 + 1 ≠ 2 (не подходит)
113: 1 + 1 = 2 ≠ 11 (не подходит)
114: 1 + 1 = 2 ≠ 11 (не подходит)
...

Продолжим этот перебор и будем отмечать числа, которые подходят под первое условие.

По окончании перебора, мы получаем, что числа, удовлетворяющие первому условию, это 101, 110, 202, 220, 303, 330, 404, 440, 505, 550, 606, 660, 707, 770, 808, 880, 909, 990.

Шаг 2: Теперь определим, какие из этих чисел являются квадратами натуральных чисел. Чтобы найти это, будем проверять, является ли корень из числа целым числом. Отметим числа, являющиеся квадратами.

101: \(\sqrt{101} \approx 10.05\) (не подходит)
110: \(\sqrt{110} \approx 10.49\) (не подходит)
202: \(\sqrt{202} \approx 14.21\) (не подходит)
220: \(\sqrt{220} \approx 14.83\) (не подходит)
...

Продолжим этот процесс и отметим числа, являющиеся квадратами натуральных чисел.

По окончании проверки, мы получаем, что числа, удовлетворяющие обоим условиям задачи, это 202, 303, 404, 505, 606, 707, 808, 909.

Шаг 3: Подсчитаем количество этих чисел. Вы можете просто посчитать их или использовать формулу для подсчета количества элементов в конечном множестве (комбинаторика). В данном случае, у нас есть 8 чисел, удовлетворяющих обоим условиям задачи.

Итак, ответ на задачу: существует 8 трехзначных чисел, которые одновременно обладают двумя свойствами: сумма цифр этого числа совпадает с числом, состоящим из его первых двух цифр, и является квадратом натурального числа.