Сколько существует решений, в которых можно найти два таких множества, объединение которых равно множеству

Для решения этой задачи, мы можем использовать принцип включения-исключения. Этот принцип помогает нам определить количество элементов в объединении или пересечении нескольких множеств.

Для начала посчитаем количество элементов в объединении двух множеств. Обозначим это число как \(n(A \cup B)\). Для двух множеств, \(A\) и \(B\), это можно выразить следующим образом:

\[n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\]

где. \(n(A)\) - количество элементов в множестве \(A\), \(n(B)\) - количество элементов в множестве \(B\), и \(n(A \cap B)\) - количество элементов в их пересечении.

Используя этот принцип, мы можем определить количество способов выбрать два множества \(A\) и \(B\) таких, что их объединение равно множеству \(k\) и пересечение равно множеству \(p\).

Пересечение множеств \(A\) и \(B\) равно множеству \(p\)={8,15}, поэтому \(n(A \cap B) = 2\).

Теперь, нам нужно определить количество элементов в множестве \(k\)={7,8,11,15,19}. Здесь \(n(k) = 5\).

Мы уже знаем, что объединение множеств \(A\) и \(B\) может быть представлено как:

\[n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\]

В нашем случае, \(n(A \cup B) = n(k) = 5\). Мы также знаем, что \(n(A \cap B) = 2\).

Подставляя все значения в формулу, получаем:

\[5 = n(A) + n(B) - 2\]

Теперь, нам нужно решить это уравнение для определения значений \(n(A)\) и \(n(B)\). После этого, мы сможем определить количество способов выбрать два множества \(A\) и \(B\) с указанными условиями.

Решая уравнение, мы получаем:

\[n(A) + n(B) = 7\]

Таким образом, любое сочетание чисел \(n(A)\) и \(n(B)\), где их сумма равна 7, будет допустимым решением задачи.

Вот некоторые возможные значения \(n(A)\) и \(n(B)\), которые удовлетворяют условию:

\[
\begin{align*}
n(A) = 1, n(B) = 6 \\
n(A) = 2, n(B) = 5 \\
n(A) = 3, n(B) = 4 \\
n(A) = 4, n(B) = 3 \\
n(A) = 5, n(B) = 2 \\
n(A) = 6, n(B) = 1 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, существует 6 возможных решений, в которых можно найти два множества, объединение которых равно множеству \(k\)={7,8,11,15,19}, а пересечение — множеству \(p\)={8,15}.