Сколько существует решений, в которых можно найти два таких множества, объединение которых равно множеству

Для решения этой задачи, мы можем использовать принцип включения-исключения. Этот принцип помогает нам определить количество элементов в объединении или пересечении нескольких множеств.

Для начала посчитаем количество элементов в объединении двух множеств. Обозначим это число как $n(A\cup B)$. Для двух множеств, $A$ и $B$, это можно выразить следующим образом:

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

где. $n(A)$ - количество элементов в множестве $A$, $n(B)$ - количество элементов в множестве $B$, и $n(A\cap B)$ - количество элементов в их пересечении.

Используя этот принцип, мы можем определить количество способов выбрать два множества $A$ и $B$ таких, что их объединение равно множеству $k$ и пересечение равно множеству $p$.

Пересечение множеств $A$ и $B$ равно множеству $p$={8,15}, поэтому $n(A\cap B)=2$.

Теперь, нам нужно определить количество элементов в множестве $k$={7,8,11,15,19}. Здесь $n(k)=5$.

Мы уже знаем, что объединение множеств $A$ и $B$ может быть представлено как:

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

В нашем случае, $n(A\cup B)=n(k)=5$. Мы также знаем, что $n(A\cap B)=2$.

Подставляя все значения в формулу, получаем:

$$5=n(A)+n(B)-2$$

Теперь, нам нужно решить это уравнение для определения значений $n(A)$ и $n(B)$. После этого, мы сможем определить количество способов выбрать два множества $A$ и $B$ с указанными условиями.

Решая уравнение, мы получаем:

$$n(A)+n(B)=7$$

Таким образом, любое сочетание чисел $n(A)$ и $n(B)$, где их сумма равна 7, будет допустимым решением задачи.

Вот некоторые возможные значения $n(A)$ и $n(B)$, которые удовлетворяют условию:

$$\begin{array}{r}n(A)=1,n(B)=6\\ n(A)=2,n(B)=5\\ n(A)=3,n(B)=4\\ n(A)=4,n(B)=3\\ n(A)=5,n(B)=2\\ n(A)=6,n(B)=1\end{array}$$

Таким образом, существует 6 возможных решений, в которых можно найти два множества, объединение которых равно множеству $k$={7,8,11,15,19}, а пересечение — множеству $p$={8,15}.