Сколько существует различных вариантов выбрать букет из 5 цветов, если в магазине есть 11 калл и 18 гвоздик, и в букете

Давайте решим эту задачу по шагам.

1. Сначала мы должны найти количество способов выбрать 3 каллы из 11 доступных калл. Это можно сделать с использованием сочетаний. Формула для вычисления сочетаний имеет вид: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - количество элементов для выбора, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае \(n = 11\) (количество доступных калл) и \(k = 3\) (количество калл, которые мы выбираем). Подставляя значения в формулу, получаем: \(\binom{11}{3} = \frac{11!}{3!(11-3)!}\).

Решим это выражение.

\(\binom{11}{3} = \frac{11!}{3!(11-3)!}\) = \(\frac{11!}{3!8!}\) = \(\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{3! \cdot 8!}\).

8! сокращается в числителе и знаменателе, поэтому они сокращаются и получаем:

\(\binom{11}{3} = 11 \cdot 10 \cdot 9\) = 990.

Таким образом, есть 990 способов выбрать 3 каллы из 11 доступных.

2. Теперь, когда у нас есть количество способов выбрать 3 каллы, мы должны найти количество способов выбрать 2 гвоздики из 18 доступных гвоздиков.

Аналогично, используем формулу сочетаний:

\(\binom{18}{2} = \frac{18!}{2!(18-2)!}\).

Вычислим это выражение.

\(\binom{18}{2} = \frac{18!}{2!16!}\) = \(\frac{18 \cdot 17 \cdot 16!}{2 \cdot 1 \cdot 16!}\).

16! сокращается в числителе и знаменателе, поэтому они сокращаются и получаем:

\(\binom{18}{2} = 18 \cdot 17\) = 306.

Таким образом, есть 306 способов выбрать 2 гвоздики из 18 доступных.

3. Теперь мы можем умножить количество способов выбрать 3 каллы на количество способов выбрать 2 гвоздики, чтобы найти общее количество вариантов составить букет.

Общее количество вариантов = количество способов выбрать 3 каллы \(\times\) количество способов выбрать 2 гвоздики.

Общее количество вариантов = 990 \(\times\) 306 = 302,940.

Таким образом, существует 302,940 разных вариантов составить букет из 5 цветов при условии, что в магазине есть 11 калл и 18 гвоздик, а в букете должно быть 3 каллы.