Сколько существует различных троек хорд на окружности с вершинами в 10 отмеченных точках, таких что у них нет общих

Да, я могу помочь решить данную задачу комбинаторики. Давайте рассмотрим ее шаг за шагом, чтобы ответ был понятен.

У нас есть окружность с 10 отмеченными точками, и нам нужно определить количество различных троек хорд на этой окружности, таких что у них нет общих концов.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться принципом Дирихле. Этот принцип утверждает, что если имеется \(n\) объектов, которые распределены между \(r\) ящиками, и \(n > r\), то хотя бы в одном ящике будет не менее одного объекта.

Применим этот принцип к нашей задаче: у нас есть 10 отмеченных точек на окружности, и нам нужно выбрать хорду, которая не имеет общих концов с другими хордами. Количество возможных троек хорд можно рассматривать как количество способов выбрать 3 точки из 10 так, чтобы не было общих концов у хорд.

Теперь посчитаем число способов выбрать 3 точки из 10. Мы можем использовать формулу комбинаторики "C из n по k", обозначаемую как \(C(n,k)\) или \(\binom{n}{k}\). Формула для вычисления этого значения выглядит следующим образом:

\[
C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), равный произведению всех положительных целых чисел от 1 до \(n\).

Применяя эту формулу к нашей задаче, получаем:

\[
C(10,3) = \frac{{10!}}{{3!(10-3)!}} = \frac{{10!}}{{3! \cdot 7!}}
\]

Посчитаем факториалы:

\[
10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! \\
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 \\
7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

Подставляем значения в формулу:

\[
C(10,3) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!}}
\]

Множители \(7!\) сокращаются:

\[
C(10,3) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 120
\]

Таким образом, существует 120 различных троек хорд на окружности с вершинами в 10 отмеченных точках, таких что у них нет общих концов.

Надеюсь, это подробное пошаговое решение помогло вам понять, как было получено это число. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.