Сколько существует наборов {n, k, s} уникальных натуральных чисел, для которых произведение nks равно 11 · 21 · 31

Для решения данной задачи, нам необходимо разложить число \(11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot 41\) на простые множители. Затем мы будем использовать эти простые множители для составления уникальных натуральных чисел \(n\), \(k\), и \(s\) в заданном условии задачи.

Разложим число \(11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot 41\) на простые множители:

\[11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot 41 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 31 \cdot 41 = 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 31 \cdot 41\]

Из разложения видно, что все простые множители являются различными. Теперь мы можем использовать эти множители для составления уникальных натуральных чисел.

Рассмотрим каждый простой множитель по отдельности:

1) Число 3 в разложении встречается в степени 2. Мы можем выбрать любую комбинацию степеней 3 для чисел \(n\), \(k\), и \(s\). Всего возможных комбинаций равно 3.

2) Число 7 в разложении также встречается в степени 2. Мы также можем выбрать любую комбинацию степеней 7 для чисел \(n\), \(k\), и \(s\), которая не совпадает с выбором степеней для числа 3. Всего возможных комбинаций равно 3.

3) Число 11 встречается в степени 1, поэтому мы можем выбрать только одно из чисел \(n\), \(k\), и \(s\), и этому числу будет соответствовать степень 11 в разложении. Всего возможных комбинаций равно 3.

4) Число 31 и 41 также встречаются в степени 1. Мы можем выбрать любую комбинацию для чисел \(n\), \(k\), и \(s\), где каждому числу будет соответствовать степень 31 или 41 в разложении. Всего возможных комбинаций равно 2.

С учетом всех этих факторов, общее количество наборов \(\{n, k, s\}\) уникальных натуральных чисел, для которых произведение \(nks\) равно \(11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot 41\), равно:

\[3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 54\]

Таким образом, существует 54 набора \(\{n, k, s\}\) уникальных натуральных чисел, для которых произведение \(nks\) равно \(11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot 41\).