Сколько стеклянных декоративных шариков имеется, если при разложении их в пакетики по 8 штук в каждый пакетик остается

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим неизвестное количество шариков за \(х\). По условию задачи, мы знаем, что:

\[x \equiv 7 \pmod{8}\]
\[x \equiv 6 \pmod{7}\]
\[x \equiv 3 \pmod{4}\]

Для решения таких систем сравнений, мы можем использовать метод китайской теоремы об остатках.

Шаг 1: Найдем наибольшее общее кратное (НОК) всех модулей (8, 7 и 4). НОК(8, 7, 4) = 56.

Шаг 2: Решим каждое уравнение модуло НОК.

\[\begin{align*}
x &\equiv 7 \pmod{8} \\
x &\equiv 6 \pmod{7} \\
x &\equiv 3 \pmod{4}
\end{align*}\]

Модуло 8:
\[7 \equiv 56 + 7 \equiv 63 \pmod{8}\]

Модуло 7:
\[6 \equiv 56 + 6 \equiv 62 \pmod{7}\]

Модуло 4:
\[3 \equiv 56 + 3 \equiv 59 \pmod{4}\]

Шаг 3: Сложим полученные результаты:

\[\begin{align*}
x &\equiv 63 \pmod{8} \\
x &\equiv 62 \pmod{7} \\
x &\equiv 59 \pmod{4}
\end{align*}\]

Сумма равна 184.

Шаг 4: Разделим полученную сумму на НОК:

\[x = \frac{184}{56} = 3\]

Шаг 5: Проверим наше решение, подставив \(x = 3\) в оригинальные уравнения:

\[\begin{align*}
3 &\equiv 7 \pmod{8} \quad \text{(выполняется)} \\
3 &\equiv 6 \pmod{7} \quad \text{(выполняется)} \\
3 &\equiv 3 \pmod{4} \quad \text{(выполняется)}
\end{align*}\]

Все уравнения выполняются, поэтому \(x = 3\) является решением задачи.

Ответ: Имеется 3 стеклянных декоративных шарика.