Сколько станций пересадки следует построить в метро, чтобы обеспечить

Question

Математика: Сколько станций пересадки следует построить в метро, чтобы обеспечить пересечение точно в одной станции любых двух из 102 линий и чтобы также имелось ровно одно место, где сходятся три линии?

Печка · Accepted Answer

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим каждое требование по отдельности.

Первое требование состоит в том, чтобы обеспечить пересечение точно в одной станции любых двух из 102 линий.

Для определения количества пересечений, мы можем использовать сочетания. Количество сочетаний без повторений из 102 элементов равно

C_{102}^{2}

, что можно рассчитать по формуле:

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Где "!" обозначает факториал (произведение всех чисел от 1 до данного числа).

Применяя данную формулу, получаем:

C_{102}^{2} = \frac{102!}{2! (102 - 2)!} = \frac{102!}{2! 100!}

Таким образом, нам нужно построить

C_{102}^{2}

станций для обеспечения пересечения точно в одной станции любых двух из 102 линий.

Второе требование состоит в том, чтобы было ровно одно место, где сходятся три линии.

Для решения этого требования, нам необходимо выбрать 3 линии из 102 и построить станцию пересечения для этих трех линий.

Количество сочетаний без повторений из 102 элементов по 3 равно

C_{102}^{3}

, что можно рассчитать по формуле, аналогичной предыдущей:

C_{102}^{3} = \frac{102!}{3! (102 - 3)!} = \frac{102!}{3! 99!}

Таким образом, нам нужно построить

C_{102}^{3}

станций для обеспечения ровно одного места, где сходятся три линии.

Итак, чтобы удовлетворить оба требования, мы должны построить сумму

C_{102}^{2}

и

C_{102}^{3}

станций, то есть:

C_{102}^{2} + C_{102}^{3} = \frac{102!}{2! 100!} + \frac{102!}{3! 99!}

Сколько станций пересадки следует построить в метро, чтобы обеспечить пересечение точно в одной станции любых двух

Печка

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!