Сколько станций пересадки следует построить в метро, чтобы обеспечить пересечение точно в одной станции любых двух

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим каждое требование по отдельности.

Первое требование состоит в том, чтобы обеспечить пересечение точно в одной станции любых двух из 102 линий.

Для определения количества пересечений, мы можем использовать сочетания. Количество сочетаний без повторений из 102 элементов равно \(C_{102}^2\), что можно рассчитать по формуле:

\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где "!" обозначает факториал (произведение всех чисел от 1 до данного числа).

Применяя данную формулу, получаем:

\[ C_{102}^{2} = \frac{102!}{2!(102-2)!} = \frac{102!}{2!100!} \]

Таким образом, нам нужно построить \(C_{102}^{2}\) станций для обеспечения пересечения точно в одной станции любых двух из 102 линий.

Второе требование состоит в том, чтобы было ровно одно место, где сходятся три линии.

Для решения этого требования, нам необходимо выбрать 3 линии из 102 и построить станцию пересечения для этих трех линий.

Количество сочетаний без повторений из 102 элементов по 3 равно \(C_{102}^{3}\), что можно рассчитать по формуле, аналогичной предыдущей:

\[ C_{102}^{3} = \frac{102!}{3!(102-3)!} = \frac{102!}{3!99!} \]

Таким образом, нам нужно построить \(C_{102}^{3}\) станций для обеспечения ровно одного места, где сходятся три линии.

Итак, чтобы удовлетворить оба требования, мы должны построить сумму \(C_{102}^{2}\) и \(C_{102}^{3}\) станций, то есть:

\[ C_{102}^{2} + C_{102}^{3} = \frac{102!}{2!100!} + \frac{102!}{3!99!} \]