Сколько станций общего пересадочного пункта должно быть построено в метро, по заданию Короля, чтобы было 100 линий

Для решения данной задачи нам нужно построить максимальное количество станций общего пересадочного пункта, удовлетворяющих условию.

Давайте разберемся пошагово:

1. Нам нужно иметь станцию, на которой пересекается три линии, и больше таких станций быть не должно. Построим такую станцию \(A\).

2. На станции \(A\) к каждой из трех линий должна быть присоединена еще одна линия (так как любые две линии должны пересекаться только в одной станции). Поэтому у нас будет 3 новые линии, которые будут присоединены к станции \(A\). Обозначим эти линии как \(1A\), \(2A\) и \(3A\).

3. Теперь мы должны соединить все линии, кроме станции \(A\), поочередно с новыми линиями \(1A\), \(2A\) и \(3A\), чтобы каждая линия пересекалась с каждой другой только на одной станции.

- Все линии, кроме станции \(A\), будут присоединены к линии \(1A\). По условию задачи у нас должно быть 100 линий. Таким образом, у нас будет \(100 - 1 = 99\) линий, присоединенных к линии \(1A\). Обозначим эти линии как \(1A1\), \(1A2\), \(1A3\) и так далее до \(1A99\).

- Для каждой линии \(1A1\), \(1A2\), \(1A3\) и так далее до \(1A99\) мы также должны присоединить все остальные линии, кроме станции \(A\). По тому же принципу, у нас будет \(99 - 1 = 98\) линий, присоединенных к каждой линии \(1A1\), \(1A2\), \(1A3\) и так далее до \(1A99\). Обозначим эти линии как \(1A1-1\), \(1A1-2\), \(1A1-3\) и так далее до \(1A1-98\).

4. Повторим шаг 3 для каждой линии \(1A1\), \(1A2\), \(1A3\) и так далее до \(1A99\) и каждой линии \(1A1-1\), \(1A1-2\), \(1A1-3\) и так далее до \(1A1-98\). Каждая из них будет иметь дополнительные линии, присоединенные к ней, и количество этих линий будет уменьшаться на 1.

5. Продолжим повторять шаг 4, пока не присоединим все линии, кроме станции \(A\), к новым линиям \(1A1\), \(1A2\), \(1A3\) и так далее до \(1A99\) и каждой линии \(1A1-1\), \(1A1-2\), \(1A1-3\) и так далее до \(1A1-98\), и каждая из них будет иметь только одну новую линию, присоединенную к ней.

6. После вышеперечисленных шагов мы получим максимальное количество линий и пересадочных станций, удовлетворяющих условию задачи.

Теперь осталось только посчитать количество пересадочных станций.

На каждом шаге мы добавляем новую станцию общего пересадочного пункта. Начиная с построенной ранее станции \(A\), на каждом следующем шаге мы присоединяем к каждой линии новую станцию. Всего у нас будет 99 шагов, так как у нас есть 99 линий, кроме станции \(A\).

Таким образом, необходимо построить 99 станций общего пересадочного пункта, чтобы получить 100 линий, удовлетворяющих условиям задачи.