Сколько способов у отца есть, чтобы раздать все фрукты детям, так что каждый ребёнок получит один фрукт или ничего?

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать комбинаторику. Для начала, давайте посмотрим, сколько всего у нас есть фруктов и сколько детей.

Пусть у нас есть \( n \) фруктов и \( k \) детей. Мы хотим узнать, сколько существует способов раздать все фрукты так, чтобы каждый ребенок получил один фрукт или вовсе не получил ничего.

Такая задача сводится к расстановке \( n \) различных предметов (фруктов) по \( k \) различным ящикам (детям). В каждом ящике может быть от 0 до 1 фрукта.

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторную формулу - формулу размещений без повторений. Формула для размещения без повторений задается следующим образом:

\[ A(n,k) = \frac{{n!}}{{(n-k)!}} \]

Где "!" означает факториал, что равно произведению всех натуральных чисел от 1 до данного числа.

Подставим значения в нашу формулу. У нас есть \( n \) фруктов и \( k \) детей:

\[ A(n,k) = \frac{{n!}}{{(n-k)!}} \]

Таким образом, мы можем использовать эту формулу для вычисления количества способов. Давайте рассмотрим пример:

Предположим, у нас есть 4 фрукта (яблоко, банан, апельсин, груша) и 3 ребенка (Аня, Петя, Вася).

Мы хотим найти количество способов раздать все фрукты так, чтобы каждый ребенок получил по одному фрукту или вовсе ничего не получил.

Для этого мы можем использовать нашу формулу:

\[ A(4,3) = \frac{{4!}}{{(4-3)!}} = \frac{{4!}}{{1!}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{1}} = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \]

Таким образом, у отца есть 24 способа раздать 4 фрукта троим детям.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение данной задачи!