Какие свойства имеет квадратичная функция y = -2x^2 + 9x - 7? Укажите область определения (D), область значений

Данная квадратичная функция имеет следующий вид: \(y = -2x^2 + 9x - 7\).

1. Область определения (D): чтобы определить область определения функции, нам нужно учесть, что квадратичная функция может быть определена для любого значения переменной \(x\). Следовательно, область определения данной функции - все действительные числа.

2. Область значений (E): чтобы найти область значений функции, нужно рассмотреть значения функции \(y\) при различных значениях переменной \(x\) и определить, какие значения может принимать функция \(y\). Здесь мы имеем функцию с коэффициентом при \(x^2\), равным -2. Так как данная функция имеет отрицательный коэффициент перед \(x^2\), это означает, что парабола открывается вниз и имеет вершину, являющуюся максимумом. Следовательно, область значений функции \(y\) - все действительные числа, меньшие или равные значению функции в вершине параболы.

3. Вершина параболы и направление ветвей: вершина параболы может быть найдена с помощью формулы \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно. В данном случае, \(a = -2\) и \(b = 9\). Подставим значения и найдем вершину:
\[x = -\frac{9}{2 \cdot (-2)} = -\frac{9}{-4} = \frac{9}{4}\]
Чтобы найти соответствующее значение функции \(y\), подставим найденное значение \(x\) в исходную функцию:
\[y = -2 \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^2 + 9 \cdot \frac{9}{4} - 7 = -\frac{81}{8}\]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{9}{4}, -\frac{81}{8}\right)\). Из-за отрицательного коэффициента перед \(x^2\) парабола будет направлена вниз.

4. Интервалы возрастания и убывания: чтобы найти интервалы, на которых график функции возрастает или убывает, нужно проанализировать знак коэффициента при \(x\). В данном случае, коэффициент равен 9, что положительно. Это означает, что функция возрастает на всей области определения.

5. Наименьшее значение функции: так как парабола открывается вниз и имеет максимум в вершине, наименьшее значение функции будет соответствовать значению в вершине параболы. Таким образом, наименьшее значение функции равно -\(\frac{81}{8}\).

6. Корни функции и ось симметрии: чтобы найти корни функции, нужно найти значения переменной \(x\), при которых функция \(y\) равна нулю. Решим уравнение \(y = 0\):
\[-2x^2 + 9x - 7 = 0\]
Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратичной функции (в данном случае \(a = -2\), \(b = 9\), \(c = -7\)). Подставим значения и найдем дискриминант:
\[D = 9^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-7) = 9^2 - 56 = 81 - 56 = 25\]
Так как дискриминант положительный, это означает, что уравнение имеет два различных корня. Используя формулу корней, мы можем найти значения переменной \(x\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-9 \pm 5}{-4}\]
Поэтому корни функции равны:
\[x_1 = \frac{-9 + 5}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1\]
\[x_2 = \frac{-9 - 5}{-4} = \frac{-14}{-4} = \frac{7}{2}\]
Ось симметрии параболы может быть найдена с использованием формулы \(x = -\frac{b}{2a}\), как и ранее. Заменим значения и найдем ось симметрии:
\[x = -\frac{9}{2 \cdot (-2)} = -\frac{9}{-4} = \frac{9}{4}\]
Следовательно, ось симметрии параболы проходит через точку \(\frac{9}{4}\).

Итак, свойства данной квадратичной функции:
- Область определения (D): все действительные числа.
- Область значений (E): все действительные числа, меньшие или равные -\(\frac{81}{8}\).
- Вершина параболы: \(\left(\frac{9}{4}, -\frac{81}{8}\right)\).
- Направление ветвей параболы: вниз.
- Интервалы возрастания: на всей области определения.
- Интервалы убывания: отсутствуют.
- Наименьшее значение функции: -\(\frac{81}{8}\).
- Корни функции: \(x_1 = 1\), \(x_2 = \frac{7}{2}\).

Эти значения и интервалы являются основными свойствами рассматриваемой квадратичной функции.