Сколько способов можно составить шеренгу из 12 мальчиков, включая Мишу и Сашу, если Миша должен стоять третьим, а Саша

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип умножения. Давайте рассмотрим каждую позицию в шеренге по отдельности.

Позиция Миши: Мы знаем, что Миша должен стоять третьим в шеренге. Это означает, что у нас есть всего один способ выбрать его для этой позиции - Миша будет третьим в любом случае.

Позиции между Мишей и Сашей: Поскольку у нас осталось 10 мальчиков для выбора на оставшиеся позиции в шеренге, нам нужно определить, сколько способов можно выбрать мальчиков для этих позиций. Поскольку ребята стоят в шеренге, их позиции отличаются. Это означает, что мы должны использовать принцип умножения. Мы выбираем мальчика для первой позиции из 10 оставшихся мальчиков. После этого у нас останется 9 мальчиков для выбора для следующей позиции и так далее. Таким образом, общее количество способов выбрать мальчиков для позиций между Мишей и Сашей равно \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 10!\).

Позиция Саши: Нам осталось 1 позиция, где должен стоять Саша - последней. У нас остается только один мальчик для выбора - Саша.

Итак, общее количество способов составить шеренгу из 12 мальчиков с условиями, что Миша должен стоять третьим, а Саша - последним, равно произведению количества способов выбрать мальчиков для каждой позиции:

\(1 \cdot 10! \cdot 1 = 10!\), где \(10!\) - это факториал числа 10.

Таким образом, есть \(10!\) способов составить такую шеренгу.