Сколько способов можно разместить 3 супружеские пары за столом так, чтобы каждая из них сидела лицом к лицу

Задача 1: Для решения этой задачи, давайте представим, что у нас есть 3 пары, обозначим их буквами A, B и C. Мы хотим разместить их за столом так, чтобы каждый человек сидел лицом к лицу с партнером на противоположной стороне стола.

Шаг 1: Выберем место для пары A. У нас есть 6 возможных мест для A (поскольку любой человек может сидеть на любой из 6 сторон стола).

Шаг 2: Когда мы выбрали место для пары A, нам остаются 4 свободных места, на которых мы можем разместить пару B.

Шаг 3: После того, как мы разместили пару B, нам остаются 2 свободных места, на которых мы можем разместить пару C.

Шаг 4: Теперь, учитывая все возможные варианты размещения, мы должны умножить число возможных мест для каждой пары.
Для пары A есть 6 возможных мест.
Для пары B есть 4 возможных места.
Для пары C есть 2 возможных места.

Таким образом, общее число способов разместить 3 супружеские пары за столом будет равно: \(6 \times 4 \times 2 = 48\) способов.

Ответ: Есть 48 способов разместить 3 супружеские пары за столом так, чтобы каждая из них сидела лицом к лицу на противоположных сторонах.

Задача 2: Количество способов, которыми диджей может проиграть 5 из 10 выбранных им песен, можно рассчитать с помощью комбинаторики.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу сочетаний. Формула сочетаний имеет вид:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где:
- \(n\) - общее количество элементов (песен в данном случае),
- \(k\) - количество элементов, которые мы хотим выбрать.

В нашей задаче, у нас есть 10 песен, и мы хотим выбрать 5 из них.

Используя формулу сочетаний, мы можем рассчитать количество способов так:

\[C(10, 5) = \frac{{10!}}{{5! \cdot (10-5)!}}\]
\[= \frac{{10!}}{{5! \cdot 5!}}\]
\[= \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 5!}}\]
\[= \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{5!}}\]
\[= \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]
\[= \frac{{30240}}{{120}}\]
\[= 252\]

Ответ: Для диджея есть 252 способа проиграть 5 из 10 выбранных им песен.