Сколько сотрудников фирмы посетили только Италию и Францию, но не посетили Испанию, если всего в фирме работает

Задача решается с помощью принципа включения-исключения. Давайте разобьем множества сотрудников на три группы: тех, кто посетил только Италию, тех, кто посетил только Францию и тех, кто посетил и Италию, и Францию.

Обозначим:
- \(I\) – множество сотрудников, посетивших Италию,
- \(F\) – множество сотрудников, посетивших Францию,
- \(E\) – множество сотрудников, посетивших Испанию.

Нам нужно найти количество сотрудников, которые посетили только Италию и только Францию, но не посетили Испанию. Пусть это количество обозначено как \(X\).

По условию, каждый из 19 сотрудников хотя бы раз посетил одну из трех стран, поэтому мы можем записать следующее равенство:

\(19 = |I \cup F \cup E|\)

Используя принцип включения-исключения, можно выразить количество сотрудников, посетивших хотя бы одну из стран:

\(|I \cup F \cup E| = |I| + |F| + |E| - |I \cap F| - |I \cap E| - |F \cap E| + |I \cap F \cap E|\)

Здесь \(|I|\) обозначает мощность множества сотрудников, посетивших только Италию, \(|F|\) – мощность множества сотрудников, посетивших только Францию, аналогично определяется мощность множества сотрудников, посетивших Испанию, и соответствующих пересечений множеств.

Мы знаем, что \(|I| = X\), так как \(X\) – количество сотрудников, посетивших только Италию и только Францию. Также, по условию задачи, мы знаем, что мощность каждого множества больше нуля (т.е. они не пустые). Тогда можно записать:

\(19 = X + |F| + |E| - |I \cap F| - |I \cap E| - |F \cap E| + |I \cap F \cap E|\)

Для решения нашей задачи, давайте рассмотрим значения пересечений множеств. Поскольку каждый из сотрудников побывал хотя бы в одной из трех стран, то сумма мощностей пересечений множеств должна быть равна 0:

\(0 = |I \cap F| + |I \cap E| + |F \cap E| - |I \cap F \cap E|\)

Подставим это значение обратно в наше первоначальное уравнение:

\(19 = X + |F| + |E|\)

Теперь, чтобы получить ответ, нам нужно выразить \(X\) в зависимости от \(|F|\) и \(|E|\). Вычтем из обоих частей этого уравнения сумму мощностей пересечений множеств:

\(19 - (|I \cap F| + |I \cap E| + |F \cap E| - |I \cap F \cap E|) = X + |F| + |E| - (|I \cap F| + |I \cap E| + |F \cap E| - |I \cap F \cap E|)\)

Сократим одинаковые слагаемые:

\(19 = X + |F| + |E| - |I \cap F| - |I \cap E| - |F \cap E| + |I \cap F \cap E|\)

Заметим, что полученное равенство совпадает с первым уравнением, поэтому мы можем заменить правую часть уравнения выражением \(19 - (|I \cap F| + |I \cap E| + |F \cap E| - |I \cap F \cap E|)\). Получим следующее:

\(19 = 19 - (|I \cap F| + |I \cap E| + |F \cap E| - |I \cap F \cap E|)\)

Упростим:

\(0 = -(|I \cap F| + |I \cap E| + |F \cap E| - |I \cap F \cap E|)\)

Так как множество сотрудников, посетивших хотя бы одну из стран, больше ноля, то получаем:

\(0 = -(0 - X)\)

Упростим:

\(0 = X\)

Таким образом, мы получили, что количество сотрудников, посетивших только Италию и Францию, но не посетивших Испанию, равно нулю. Вероятно, в данной задаче нет таких сотрудников.