Сколько составляет расстояние между параллельными прямыми AB и CD на графике функции y = x^2 + ax + b, если известно

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство параллельных прямых.

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. В данном случае угловой коэффициент прямых AB и CD равен \(a\), поскольку мы рассматриваем график функции \(y = x^2 + ax + b\).

Для начала нам нужно найти производную этой функции, чтобы найти угловой коэффициент \(a\). Производная функции \(y = x^2 + ax + b\) по \(x\) равна:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 2x + a\]

Таким образом, угловой коэффициент прямых AB и CD равен \(a\).

Мы знаем, что расстояние между параллельными прямыми равно разности ординат двух произвольных точек, одна координата которых лежит на первой прямой, а другая - на второй.

Пусть точка A(x1, y1) принадлежит прямой AB, а точка C(x2, y2) принадлежит прямой CD. Обозначим расстояние между этими прямыми как d.

Тогда расстояние d равно модулю разности ординат y1 и y2:

\[d = |y1 - y2|\]

Заметим, что ординаты y1 и y2 соответствуют значениям функции \(y = x^2 + ax + b\) в точках x1 и x2 соответственно.

Таким образом, расстояние d между прямыми AB и CD равно модулю разности значений функции \(y = x^2 + ax + b\) в точках x1 и x2:

\[d = |(x1^2 + ax1 + b) - (x2^2 + ax2 + b)|\]

Заметим, что значение d не зависит от выбора конкретных точек A и C, поэтому мы можем выбрать любые две точки, одна из которых будет принадлежать прямой AB, а другая - прямой CD.

В данной задаче известно, что AB = 3. Допустим, мы выбираем точки A(0, b) и C(3, 9 + 3a + b).

Подставим значения координат этих точек в формулу для d:

\[d = |(0^2 + a \cdot 0 + b) - (3^2 + a \cdot 3 + b)|\]
\[d = |b - (9 + 3a + b)|\]
\[d = |9 + 3a|\]

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми AB и CD равно |9 + 3a|.