Сколько составляет общая сумма всех натуральных чисел, которые не превышают 200 и при делении на 10 дают остаток

Шаг 1: Форма искомых натуральных чисел - \((10k+1)\), где \(k\) принимает значения от 0 до 19.

Шаг 2: Для определения количества таких чисел, которые не превышают 200, мы должны найти максимальное значение \(k\), при котором \((10k+1) \leq 200\). Следовательно,

\[
10k+1 \leq 200 \implies 10k \leq 199 \implies k \leq 19.9
\]

Однако, поскольку \(k\) должно быть натуральным числом, мы можем взять максимальное значение \(k = 19\).

Шаг 3: Теперь мы можем записать сумму всех указанных чисел. Общая сумма равна сумме каждого числа, умноженного на количество таких чисел:

\[
\sum_{k=0}^{19} (10k+1)
\]

Теперь рассчитаем эту сумму. Для удобства разобьем ее на две части: первую сумму всех чисел \(10k\) и вторую сумму всех единиц \(1\):

\[
\left(\sum_{k=0}^{19} 10k\right) + \left(\sum_{k=0}^{19} 1\right)
\]

Первую сумму можно вычислить, используя формулу суммы арифметической прогрессии:

\[
\sum_{k=0}^{19} 10k = 10 \cdot \frac{19(19+1)}{2} = 10 \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} = 1900
\]

Вторая сумма равна просто 20, потому что среди всех чисел \((10k+1)\) единица является постоянной.

Теперь можем записать окончательный ответ:

\[
\sum_{k=0}^{19} (10k+1) = 1900 + 20 = 1920
\]

Таким образом, общая сумма всех натуральных чисел, которые не превышают 200 и при делении на 10 дают остаток 1, равна 1920.