Сколько составляет длина меньшей дуги на окружности с центром О, если угол AOB равен 42 градусам и длина большей дуги

Для решения данной задачи нам потребуется знать формулу для вычисления длины дуги на окружности. Формула имеет следующий вид:

\[ L = \dfrac{{n \cdot 2\pi r \cdot \alpha}}{360°} \]

Где:
- L - длина дуги на окружности;
- n - количество полных оборотов окружности (обычно равно 1);
- r - радиус окружности;
- \(\alpha\) - измеряемый угол в градусах.

В данной задаче угол AOB равен 42 градусам. Так как в условии нет указаний на полные обороты окружности, для упрощения задачи считаем, что n=1, то есть имеется только один полный оборот окружности.

Пусть r - радиус окружности. Тогда, чтобы вычислить длину дуги AB, нам необходимо найти значение этого радиуса r. Для этого воспользуемся тригонометрическими соотношениями.

Угол AOB - половина угла центра, который в данном случае равен хорде AB. Значит, в треугольнике АОВ противудальной стороной будет радиус окружности, а прилежащей - половина длины хорды, то есть

\[ \sin \left(\dfrac{AOB}{2}\right) = \dfrac{AB}{2r} \].

Подставляем известные значения:

\[ \sin \left(\dfrac{42}{2}\right) = \dfrac{AB}{2r} \].

Находим значение синуса функции:

\[ \sin 21 = \dfrac{AB}{2r} \].

Теперь, чтобы найти значение r, умножаем обе части равенства на 2r:

\[ 2r \cdot \sin 21 = AB \].

Таким образом, мы нашли значение хорды AB.
Теперь, чтобы найти длину дуги меньшей дуги AO, мы подставим полученные значения в формулу для вычисления длины дуги:

\[ L = \dfrac{{1 \cdot 2\pi r \cdot \alpha}}{360°} \].

Подставляем известные значения:

\[ L = \dfrac{{1 \cdot 2\pi \cdot (2r) \cdot 42}}{360°} \].

Упрощаем выражение:

\[ L = \dfrac{{4\pi r \cdot 42}}{360°} \].

Это выражение даст нам длину меньшей дуги AO, которую мы можем вычислить, зная значение радиуса r.