Сколько школьников может быть в классе, если известно, что во время каникул 25 из них посетили Третьяковскую галерею

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать понятие объединения множеств. Объединение множеств — это совокупность всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.

Пусть \(А\) — множество школьников, которые посетили Третьяковскую галерею, \(В\) — множество школьников, которые посетили Пушкинский парк, \(С\) — множество школьников, которые посетили Музей космонавтики.

Нам дано, что каждый из этих музеев посетило определенное количество школьников:

\(|А| = 25\) (25 школьников посетили Третьяковскую галерею)
\(|В| = 16\) (16 школьников посетили Пушкинский парк)
\(|С| = 10\) (10 школьников посетили Музей космонавтики)

Также дано, что каждый школьник посетил не более двух музеев.

Нам нужно найти общее количество школьников в классе, посещавших хотя бы один из этих музеев.

Для решения задачи мы можем воспользоваться формулой для объединения множеств:

\[|А \cup В \cup С| = |А| + |В| + |С| - |А \cap В| - |А \cap С| - |В \cap С| + |А \cap В \cap С|\]

Где \(|\cdot|\) обозначает мощность (количество элементов) множества.

Теперь разберемся с каждым слагаемым в этой формуле.

1) \(|А|\) — количество школьников, которые посетили Третьяковскую галерею (25).
2) \(|В|\) — количество школьников, которые посетили Пушкинский парк (16).
3) \(|С|\) — количество школьников, которые посетили Музей космонавтики (10).

Теперь рассмотрим пересечения между множествами:

4) \(|А \cap В|\) — количество школьников, которые посетили и Третьяковскую галерею и Пушкинский парк. Это пересечение нам неизвестно, поэтому обозначим его \(х\).
5) \(|А \cap С|\) — количество школьников, которые посетили и Третьяковскую галерею и Музей космонавтики. Это пересечение нам также неизвестно, поэтому обозначим его \(у\).
6) \(|В \cap С|\) — количество школьников, которые посетили и Пушкинский парк, и Музей космонавтики. Это пересечение также неизвестно, обозначим его \(z\).
7) \(|А \cap В \cap С|\) — количество школьников, которые посетили все три музея. По условию задачи каждый школьник посетил не более двух музеев, поэтому это пересечение равно 0.

Теперь мы можем подставить все значения в формулу и решить ее:

\[|А \cup В \cup С| = 25 + 16 + 10 - х - у - z + 0\]

Так как каждый школьник посетил не более двух музеев, то сумма мощностей указанных пересечений не может быть больше, чем мощность каждого из множеств \(А\), \(В\), \(С\):

\[х + у \leq |А| = 25\]
\[у + z \leq |В| = 16\]
\[х + z \leq |С| = 10\]

Теперь мы можем решить систему неравенств:

\[
\begin{cases}
х + у \leq 25\\
у + z \leq 16\\
х + z \leq 10\\
\end{cases}
\]

Объединяя эти неравенства, мы можем сделать вывод, что:

\[х + у + z \leq 10\]

Теперь имея эту информацию, мы можем рассмотреть наибольшее значение \(|А \cup В \cup С|\):

\[|А \cup В \cup С| = 25 + 16 + 10 - х - у - z + 0\]

Так как \(х + у + z \leq 10\), то наибольшее значение \(|А \cup В \cup С|\) будет достигаться при минимальных значениях для \(х\), \(у\) и \(z\). Следовательно, \(х = у = z = 10\).

Теперь мы можем подставить значения и найти ответ:

\[|А \cup В \cup С| = 25 + 16 + 10 - 10 - 10 - 10 + 0 = 41\]

То есть, в классе может быть максимум 41 школьник, которые посетили хотя бы один из указанных музеев.