Сколько шаров было взято для оформления зала, если было использовано синих, желтых и белых шаров в отношении, обратно

Давайте решим эту задачу. У нас есть три вида шаров: синие, желтые и белые. Пусть количество синих шаров будет обозначено как \(x\), желтых - \(y\), а белых - \(z\).

Мы знаем, что отношение количества синих, желтых и белых шаров составляет 2:5:6. Это означает, что \(\frac{x}{y}=\frac{2}{5}\) и \(\frac{x}{z} = \frac{2}{6}\).

Теперь давайте решим первое уравнение относительно \(y\):
\[ \frac{x}{y} = \frac{2}{5} \]

Перемножим обе стороны уравнения на \(y\):
\[ x = \frac{2}{5} \cdot y \]

Отсюда видно, что \(x\) можно выразить через \(y\):
\[ x = \frac{2y}{5} \]

Аналогичным образом решим второе уравнение относительно \(z\):
\[ \frac{x}{z} = \frac{2}{6} \]

Перемножим обе стороны уравнения на \(z\):
\[ x = \frac{2}{6} \cdot z \]

Отсюда видно, что \(x\) можно выразить через \(z\):
\[ x = \frac{z}{3} \]

Мы видим, что \(x\) можно выразить двумя разными способами: через \(y\) и через \(z\). Поскольку оба равенства равны \(x\), мы можем сравнить их между собой:
\[ \frac{2y}{5} = \frac{z}{3} \]

А теперь вспомним, что у нас также есть дополнительная информация о количестве белых шаров: треть из них лопнула, но осталось 40.

Из равенства \(x = \frac{z}{3}\) получаем:
\[ \frac{2y}{5} = \frac{x}{3} \]

Подставим в это уравнение значение \(x\), полученное из предыдущего равенства:
\[ \frac{2y}{5} = \frac{\frac{z}{3}}{3} \]

Упростим это уравнение:
\[ \frac{2y}{5} = \frac{z}{9} \]

Теперь у нас есть два уравнения:
\[ \frac{2y}{5} = \frac{z}{9} \quad \text{(1)} \]
\[ \frac{2y}{5} = \frac{z}{3} \quad \text{(2)} \]

Поскольку \(z\) - целое число, давайте найдем такие значения \(y\) и \(z\), чтобы оба уравнения были истинными.

Пусть \(z = 9k\), где \(k\) - целое число.

Подставим это значение в уравнение (1):
\[ \frac{2y}{5} = \frac{9k}{9} \]

Сократим девятки:
\[ \frac{2y}{5} = k \]

Теперь пусть \(y = 5m\), где \(m\) - целое число.

Подставим это значение в уравнение (2):
\[ \frac{2\cdot 5m}{5} = \frac{9k}{3} \]

Упростим:
\[ 2m = 3k \]

Мы получили два уравнения:
\[ \frac{2y}{5} = k \quad \text{(3)} \]
\[ 2m = 3k \quad \text{(4)} \]

Теперь давайте найдем подходящие значения для \(m\) и \(k\), чтобы оба уравнения были истинными.

Давайте попробуем \(m = 3\) и \(k = 2\). Подставим эти значения в уравнения (3) и (4):
\[ \frac{2\cdot 5\cdot 3}{5} = 2 \]
\[ 2\cdot 3 = 3\cdot 2 \]

Оба уравнения выполняются! Это значит, что при \(m = 3\) и \(k = 2\) наши выражения \(y = 5m\) и \(z = 9k\) дают целочисленные значения для \(y\) и \(z\), удовлетворяющие условиям задачи.

Подставим эти значения в наши выражения для \(x\), \(y\) и \(z\):
\[ x = \frac{2y}{5} = \frac{2\cdot 5\cdot 3}{5} = 6 \]
\[ y = 5m = 5\cdot 3 = 15 \]
\[ z = 9k = 9\cdot 2 = 18 \]

Итак, мы получили, что взято 6 синих шаров, 15 желтых шаров и 18 белых шаров для оформления зала.