Сколько решений может иметь уравнение x^2-8|x|=a^2-20, в зависимости от значения параметра

Чтобы определить, сколько решений может иметь уравнение \(x^2 - 8|x| = a^2 - 20\) в зависимости от значения параметра \(a\), давайте рассмотрим различные случаи.

1. Пусть \(a^2 - 20 < 0\). То есть значение параметра \(a\) такое, что \(a^2 < 20\). В этом случае одна из сторон неравенства \(x^2 - 8|x| = a^2 - 20\) становится отрицательной. Но квадрат \(x^2\) всегда не отрицательный, поэтому нет решений уравнения.

2. Пусть \(a^2 - 20 = 0\). Здесь значение параметра \(a\) таково, что \(a^2 = 20\). В этом случае уравнение примет вид \(x^2 - 8|x| = 0\). Чтобы найти решения, давайте рассмотрим два подслучая.

2.1. Если \(x \geq 0\), то уравнение \(x^2 - 8x = 0\) будет иметь решения при \(x = 0\) и \(x = 8\).

2.2. Если \(x < 0\), то уравнение \(x^2 + 8x = 0\) будет иметь решения при \(x = 0\) и \(x = -8\).

Итак, в этом случае уравнение имеет четыре решения: \(x = 0\), \(x = 8\), \(x = -8\) и \(x = 0\).

3. Пусть \(a^2 - 20 > 0\). Здесь значение параметра \(a\) таково, что \(a^2 > 20\). Разделим это решение на два подслучая.

3.1. Если \(x \geq 0\), то уравнение \(x^2 - 8x = a^2 - 20\) будет иметь два решения. Одно решение будет находиться внутри корня \(|x|\), а другое — снаружи корня \(|x|\).

3.2. Если \(x < 0\), то уравнение \(x^2 + 8x = a^2 - 20\) также будет иметь два решения. Одно решение будет находиться внутри корня \(|x|\), а другое — снаружи корня \(|x|\).

В итоге, в этом случае уравнение будет иметь четыре решения, два из них будут для \(x \geq 0\) и два — для \(x < 0\).

Итак, в зависимости от значения параметра \(a\), уравнение \(x^2 - 8|x| = a^2 - 20\) может иметь от 0 до 4 решений.