Сколько решений имеет уравнение tg2x=tgx на отрезке [п/2;3п/2]?

Для начала, давайте разберемся с самим уравнением. Уравнение \(tg2x = tgx\) означает, что тангенсы угла \(2x\) и \(x\) равны друг другу. Нам нужно определить количество решений этого уравнения на отрезке \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\).

Для того, чтобы решить это уравнение, нам понадобится знание о тангенсе удвоенного угла.

Свойство, которое нам нужно использовать, гласит: \(\tg(2x) = \frac{2\tg(x)}{1-\tg^2(x)}\).

Теперь давайте применим это свойство к нашему уравнению:

\(\frac{2\tg(x)}{1-\tg^2(x)} = \tg(x)\).

Введем обозначение \(y = \tg(x)\), чтобы упростить уравнение:

\(\frac{2y}{1-y^2} = y\).

Теперь нам нужно решить получившееся квадратное уравнение:

\(2y = y(1-y^2)\).

Раскроем скобки:

\(2y = y - y^3\).

Упростим уравнение:

\(2y - y + y^3 = 0\),

\(y^3 - y = 0\),

\(y(y^2 - 1) = 0\).

Теперь найдем значения \(y\), которые удовлетворяют этому уравнению. Видно, что одним из решений будет \(y = 0\), но нам также нужно проверить значения \(y^2 - 1\) и учесть, что исследуемый отрезок нас интересует.

Если подставить \(y = 0\), то получим:

\(\frac{y}{1-y^2} = 0\).

Так как знаменатель не равен нулю, значит, это действительное решение.

Теперь подставим \(y = 1\):

\(\frac{y}{1-y^2} = 1\).

Так как знаменатель не равен нулю, значит, это действительное решение.

Аналогично, подставим \(y = -1\):

\(\frac{y}{1-y^2} = -1\).

Еще раз замечаем, что знаменатель не равен нулю, значит, это тоже действительное решение.

Теперь давайте найдем значения \(x\) по найденным значениям \(y\).

Для \(y = 0\) получаем:

\(\tg(x) = 0\).

На отрезке \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\) существует два значения \(x\), при которых тангенс равен нулю: \(x = \frac{\pi}{2}\) и \(x = \pi\).

Теперь для \(y = 1\) получаем:

\(\tg(x) = 1\).

На отрезке \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\) есть только одно значение \(x\), при котором тангенс равен единице: \(x = \frac{\pi}{4}\).

Наконец, для \(y = -1\) получаем:

\(\tg(x) = -1\).

На отрезке \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\) есть только одно значение \(x\), при котором тангенс равен минус единице: \(x = \frac{3\pi}{4}\).

Итак, уравнение \(tg2x = tgx\) имеет следующие решения на отрезке \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\): \(x = \frac{\pi}{2}, x = \pi, x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{3\pi}{4}\).