Сколько ребер необходимо добавить в графе без циклов с 20 вершинами и 10 ребрами, чтобы граф стал связным?

Чтобы граф стал связным, каждая вершина должна быть связана с другой вершиной, то есть в графе не должно быть изолированных вершин. При этом в задаче сказано, что у нас уже есть 20 вершин и 10 ребер. Попробуем разобраться, сколько ребер нужно добавить.

Каждая вершина может быть соединена с любой другой вершиной при условии, что между ними нет циклов. Чтобы добавить новое ребро, мы должны соединить две вершины, которые до этого не были связаны.

У нас уже есть 20 вершин, и каждая из них может быть связана с 19 другими вершинами (так как мы не можем соединять вершину с самой собой). Но нам нужно только 10 ребер, поэтому мы должны выбрать 10 пар вершин из 20. Мы можем выбрать эти 10 пар по формуле сочетаний:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Где \(n\) - количество элементов, а \(k\) - количество выбираемых элементов. В нашем случае \(n = 20\) и \(k = 2\). Подставляем значения в формулу:

\(\binom{20}{2} = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!}\)

Вычисляем факториалы:

\(20! = 20 \times 19 \times 18! \)

\(2! = 2 \times 1\)

\(18! = 18 \times 17 \times 16 \times ... \times 1 \)

Подставляем значения обратно в формулу:

\(\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19 \times 18!}{2 \times 1 \times 18!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = \frac{380}{2} = 190\)

Таким образом, нам необходимо добавить 190 ребер в граф, чтобы он стал связным.