Сколько разных способов можно закрасить 6 одинаковых квадратов прямоугольника, используя набор красок из 18 разных

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод комбинаторики. Количество способов закрасить 6 квадратов можно представить в виде комбинации чисел, где каждое число представляет количество квадратов закрашенных одним цветом.

Для этой задачи воспользуемся методом разделения на группы. Разделим 6 квадратов на группы по количеству цветов. Возможные варианты разделения будут выглядеть следующим образом:

1. Все 6 квадратов одного цвета.
2. 5 квадратов одного цвета и 1 квадрат разного цвета.
3. 4 квадрата одного цвета и 2 квадрата другого цвета.
4. 3 квадрата одного цвета и 3 квадрата другого цвета.

Рассмотрим каждый вариант подробнее:

1. Все 6 квадратов одного цвета: В этом случае нам нужно выбрать 1 цвет из 18 доступных цветов. Способов сделать это - 18.

2. 5 квадратов одного цвета и 1 квадрат разного цвета: Сначала мы выбираем один цвет из 18 доступных для выбора цветов и закрашиваем 5 квадратов этим цветом. Затем выбираем еще один цвет и закрашиваем оставшийся 1 квадрат этим цветом.

Количество способов сделать это можно выразить следующим образом: \({{18}\choose{1}} \times {{17}\choose{1}} = 18 \times 17 = 306\).

3. 4 квадрата одного цвета и 2 квадрата другого цвета: В этом случае мы выбираем 2 цвета из 18 доступных цветов. Затем закрашиваем 4 квадрата одним цветом и 2 квадрата другим цветом.

Количество способов сделать это можно выразить следующим образом: \({{18}\choose{2}} = \frac{{18!}}{{2! \cdot (18-2)!}} = \frac{{18!}}{{2! \cdot 16!}} = 153\).

4. 3 квадрата одного цвета и 3 квадрата другого цвета: Аналогично, мы выбираем 2 цвета из 18 доступных цветов. Затем закрашиваем 3 квадрата одним цветом и 3 квадрата другим цветом.

Количество способов сделать это можно выразить следующим образом: \({{18}\choose{2}} = \frac{{18!}}{{2! \cdot 16!}} = 153\).

Теперь найдем общее количество способов закрасить 6 квадратов прямоугольника используя набор из 18 разных цветов. Для этого сложим количество способов каждого варианта:

\(18 + 306 + 153 + 153 = 630\).

Таким образом, существует 630 разных способов закрасить 6 одинаковых квадратов прямоугольника, используя набор из 18 разных цветов.