Сколько различных вариантов можно получить, когда все лампочки выключены, из начального состояния 3х3 квадрата

Чтобы найти количество различных вариантов, когда все лампочки выключены, изначально нужно рассмотреть все возможные состояния квадрата с лампочками и посчитать, сколько из них приводят к желаемому результату — выключенным лампочкам.

В данной задаче у нас есть квадрат 3х3 с 9 лампочками. Обозначим каждую лампочку буквой "В" (включена) или "ВЫ" (выключена), соответственно. Начальное состояние будет выглядеть следующим образом:

\[ \begin{array}{ccc}
В & В & В \\
В & В & В \\
В & В & В \\
\end{array} \]

Операция позволяет нам изменять состояние четырех клеток, образующих 2х2 квадрат. Для удобства, можно обозначить клетки следующим образом:

\[ \begin{array}{ccc}
A & B & C \\
D & E & F \\
G & H & I \\
\end{array} \]

После каждой операции некоторые лампочки меняют свое состояние. Рассмотрим все возможные комбинации изменений состояний клеток.

1. Комбинация 1: Изменение состояний клеток "A", "B", "D", и "E". После операции квадрат будет выглядеть следующим образом:

\[ \begin{array}{ccc}
ВЫ & ВЫ & В \\
ВЫ & ВЫ & В \\
В & В & В \\
\end{array} \]

2. Комбинация 2: Изменение состояний клеток "B", "C", "E", и "F". После операции квадрат будет выглядеть следующим образом:

\[ \begin{array}{ccc}
ВЫ & ВЫ & ВЫ \\
В & ВЫ & ВЫ \\
В & В & В \\
\end{array} \]

3. Комбинация 3: Изменение состояний клеток "D", "E", "G", и "H". После операции квадрат будет выглядеть следующим образом:

\[ \begin{array}{ccc}
В & В & В \\
ВЫ & ВЫ & В \\
ВЫ & ВЫ & ВЫ \\
\end{array} \]

4. Комбинация 4: Изменение состояний клеток "E", "F", "H", и "I". После операции квадрат будет выглядеть следующим образом:

\[ \begin{array}{ccc}
В & ВЫ & ВЫ \\
В & ВЫ & ВЫ \\
В & ВЫ & ВЫ \\
\end{array} \]

Теперь мы рассмотрели все возможные комбинации изменений состояний клеток, и каждая из них приводит к тому, что все лампочки выключены. Получается, что число различных вариантов равно 4.

Итак, ответ на задачу: существует 4 различных варианта, когда все лампочки выключены, из начального состояния 3х3 квадрата с 9 лампочками, если за одну операцию можно изменять состояние любых четырех клеток, образующих 2х2 квадрат.