Сколько различных способов есть у Валерия выбрать три конфеты и два мандарина из 21 конфеты и 10 мандаринов на тарелке?

Чтобы решить задачу о выборе трех конфет и двух мандаринов из заданного набора, мы можем использовать комбинаторику и сочетания.

Количество способов выбрать три конфеты из 21 конфет можно вычислить с помощью формулы сочетаний. Обозначим это число как \( C(n, k) \), где \( n \) - общее количество конфет, а \( k \) - количество выбранных конфет. Формула сочетаний выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}} \]

Аналогично, количество способов выбрать два мандарина из 10 мандаринов можно вычислить также по формуле сочетаний.

Применяя формулу сочетаний, получаем:

\[ C(21, 3) = \frac{{21!}}{{3!(21-3)!}} \]
\[ C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2!(10-2)!}} \]

Теперь найдем общее количество различных способов выбрать три конфеты и два мандарина. Для этого перемножим количество способов выбора конфет и количество способов выбора мандаринов:

\[ \text{{Общее количество способов}} = C(21, 3) \times C(10, 2) \]

Выполним вычисления:

\[ C(21, 3) = \frac{{21!}}{{3!(21-3)!}} = \frac{{21!}}{{3!18!}} = \frac{{21 \times 20 \times 19}}{{3 \times 2 \times 1}} = 1330 \]

\[ C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2!(10-2)!}} = \frac{{10!}}{{2!8!}} = \frac{{10 \times 9}}{{2 \times 1}} = 45 \]

\[ \text{{Общее количество способов}} = 1330 \times 45 = 59,850 \]

Итак, у Валерия есть 59,850 различных способов выбрать три конфеты и два мандарина из предложенного набора конфет и мандаринов.