Сколько различных ключей может существовать в цифровой таблице 4×4, где каждая ячейка содержит одну из цифр 0, 1

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определим, сколько различных вариантов может быть в каждой ячейке таблицы. В данной задаче каждая ячейка может содержать одну из четырех цифр: 0, 1, 2 или 3. Таким образом, у нас есть 4 варианта для каждой ячейки.

Шаг 2: Определим количество возможных комбинаций в строках. В таблице 4×4 у нас есть 4 строки, каждая из которых должна иметь сумму цифр, кратную 4. Чтобы найти количество комбинаций, мы должны выбрать цифры таким образом, чтобы их сумма была кратна 4. Рассмотрим все возможные случаи и определим количество комбинаций для каждой строки:

- Если первая цифра в строке равна 0, то оставшиеся три цифры могут быть выбраны только из множества {0, 4, 8, 12}. В данном случае имеем следующие возможности для выбора оставшихся трех цифр:
- 0, 0, 0
- 4, 0, 0
- 8, 0, 0
- 12, 0, 0
- и так далее...
- Если первая цифра в строке равна 1, то оставшиеся три цифры могут быть выбраны только из множества {1, 5, 9, 13}.
- Если первая цифра в строке равна 2, то оставшиеся три цифры могут быть выбраны только из множества {2, 6, 10, 14}.
- Если первая цифра в строке равна 3, то оставшиеся три цифры могут быть выбраны только из множества {3, 7, 11, 15}.

Шаг 3: Определим количество комбинаций в каждой строке и зафиксируем их значения. Затем, чтобы найти общее количество возможных комбинаций в таблице 4×4, мы умножим количество комбинаций в каждой строке.

Давайте рассчитаем количество комбинаций в каждой строке:

- Для строки 1 есть 4 возможные комбинации.
- Для строки 2 также есть 4 возможные комбинации.
- Для строки 3 также есть 4 возможные комбинации.
- Для строки 4 также есть 4 возможные комбинации.

Теперь умножим количество комбинаций в каждой строке:

\(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\)

Таким образом, в цифровой таблице 4×4, при заданных условиях, может существовать 256 различных ключей.