Сколько различных цифр содержится в двоичной записи числа 8^502 – 4^211 + 2^1536?

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить значение \(8^{502} - 4^{211} + 2^{1536}\).

Давайте начнем с расчетов каждого из слагаемых по отдельности.

Первое слагаемое: \(8^{502}\). Чтобы упростить вычисления, мы можем представить число 8 как \(2^3\). Тогда мы получим \((2^3)^{502}\), что равносильно \(2^{3 \cdot 502}\). Возведение в степень можно упростить, умножив показатель степени на 3: \(2^{1506}\).

Второе слагаемое: \(4^{211}\). Аналогично, число 4 можно представить как \(2^2\). Тогда получим \((2^2)^{211}\), что равно \(2^{2 \cdot 211}\), то есть \(2^{422}\).

Третье слагаемое: \(2^{1536}\).

Теперь мы можем сложить все полученные значения:
\[2^{1506} - 2^{422} + 2^{1536}\].

Чтобы продолжить решение, давайте сосредоточимся на количестве различных цифр в двоичной записи каждого из этих слагаемых.

Для слагаемого \(2^{1506}\) нам нужно узнать, сколько цифр содержится в его двоичной записи. Чтобы определить это, требуется найти ближайшее к \(1506\) число, которое представимо в виде степени двойки. Такое число будет \(2^{11} = 2048\). То есть, для представления числа \(2^{1506}\) нам потребуется \(11\) цифр в двоичной системе.

Аналогично для слагаемого \(2^{422}\), мы найдем ближайшее к \(422\) число, которое представимо в виде степени двойки. Это число будет \(2^9 = 512\), поэтому для представления числа \(2^{422}\) нам потребуется \(9\) цифр.

Наконец, для слагаемого \(2^{1536}\) нам понадобится найти ближайшее к \(1536\) число, представимое в виде степени двойки. Это число равносильно \(2^{10} = 1024\), поэтому для представления числа \(2^{1536}\) нам потребуется \(10\) цифр.

Теперь мы можем сложить количество цифр в каждом слагаемом:
\(11 + 9 + 10 = 30\).

Итак, в двоичной записи числа \(8^{502} - 4^{211} + 2^{1536}\) содержится \(30\) различных цифр.