Сколько раз будет встречаться одночлен a3b7 при возведении суммы a+b в десятую степень?

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать бином Ньютона. Формула для раскрытия скобок этого бинома имеет вид:

\[(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n\]

где \(\binom{n}{k}\) - это число сочетаний из \(n\) по \(k\).

В нашем случае у нас есть \(a^3 b^7\), и нам нужно найти количество раз, когда он будет встречаться при раскрытии скобок суммы \(a + b\) в десятую степень (\(n = 10\)).

Давайте посмотрим на каждый член раскрытой суммы:

\(\binom{10}{0}a^{10} b^0\) - это первый член и он не содержит \(a^3 b^7\),
\(\binom{10}{1}a^9 b^1\) - это второй член и он не содержит \(a^3 b^7\),
\(\binom{10}{2}a^8 b^2\) - это третий член и он не содержит \(a^3 b^7\),
\(\binom{10}{3}a^7 b^3\) - это четвертый член и он не содержит \(a^3 b^7\),
\(\binom{10}{4}a^6 b^4\) - это пятый член и он не содержит \(a^3 b^7\),
\(\binom{10}{5}a^5 b^5\) - это шестой член и он не содержит \(a^3 b^7\),
\(\binom{10}{6}a^4 b^6\) - это седьмой член и он не содержит \(a^3 b^7\),
\(\binom{10}{7}a^3 b^7\) - это восьмой член и он содержит \(a^3 b^7\),
\(\binom{10}{8}a^2 b^8\) - это девятый член и он не содержит \(a^3 b^7\),
\(\binom{10}{9}a^1 b^9\) - это десятый член и он не содержит \(a^3 b^7\),
\(\binom{10}{10}a^0 b^{10}\) - это одиннадцатый член и он не содержит \(a^3 b^7\).

Таким образом, \(a^3 b^7\) встречается только один раз при возведении суммы \(a + b\) в десятую степень.