Сколько пятиугольников было вырезано Леной, если она вырезала несколько пятиугольников и семиугольников из бумаги

Чтобы решить эту задачу, давайте дадим обозначение: пусть количество пятиугольников, вырезанных Леной, равно \(x\), а количество семиугольников равно \(y\).

Пятиугольник имеет 5 вершин, поэтому \(x\) пятиугольников будут иметь \(5x\) вершин. Аналогично, семиугольник имеет 7 вершин, поэтому \(y\) семиугольников будут иметь \(7y\) вершин.

Условие задачи говорит, что всего у вырезанных фигурок было 39 вершин. Это означает, что сумма вершин пятиугольников и семиугольников равна 39:

\[5x + 7y = 39.\]

Мы получили уравнение, которое необходимо решить для определения значений \(x\) и \(y\).

Обратимся к методу решения уравнений с двумя неизвестными - методу подстановки. Для этого предположим, что количество пятиугольников, вырезанных Леной, равно нулю. Тогда у нас останутся только семиугольники, количество которых равно \(y\). Подставим это значение в уравнение:

\[5 \cdot 0 + 7y = 39.\]

Упростим уравнение:

\[7y = 39.\]

Решим полученное уравнение:

\[y = \frac{39}{7}.\]

Таким образом, при предположении, что Лена вырезала только семиугольники, получается, что она вырезала \(\frac{39}{7}\) семиугольников.

Однако, условие задачи говорит, что Лена вырезала несколько пятиугольников, а не только семиугольники. Поэтому количество семиугольников должно быть не целым числом.

Чтобы найти количество пятиугольников, вырезанных Леной, рассмотрим случай, когда семиугольников не было вырезано. Тогда у нас останутся только пятиугольники, количество которых равно \(x\). Подставим это значение в уравнение:

\[5x + 7 \cdot 0 = 39.\]

Упростим уравнение:

\[5x = 39.\]

Решим полученное уравнение:

\[x = \frac{39}{5}.\]

Таким образом, при предположении, что Лена вырезала только пятиугольники, получается, что она вырезала \(\frac{39}{5}\) пятиугольников.

Однако, задача говорит нам, что Лена вырезала как пятиугольники, так и семиугольники.

Поскольку мы знаем, что количество пятиугольников \(x\) и семиугольников \(y\) должны быть целыми числами, давайте проверим, есть ли такие целочисленные значения \(x\) и \(y\), при которых уравнение \(5x + 7y = 39\) соблюдается.

Изменяя значения \(x\) и \(y\) на целые числа, мы можем найти их соотношение и увидеть, когда получаем целое число для обоих \(x\) и \(y\).

Попробуем некоторые значения \(x\) (начиная с 1) и найдем соответствующие значения \(y\):

\[
\begin{align*}
&x = 1: 5 \cdot 1 + 7y = 39 \Rightarrow 7y = 34 \Rightarrow y = \frac{34}{7}. \\
&x = 2: 5 \cdot 2 + 7y = 39 \Rightarrow 7y = 29 \Rightarrow y = \frac{29}{7}. \\
&x = 3: 5 \cdot 3 + 7y = 39 \Rightarrow 7y = 24 \Rightarrow y = \frac{24}{7}. \\
\end{align*}
\]

При значениях \(x = 1, 2, 3\) мы получаем нецелочисленные значения для \(y\). Это означает, что при таких значениях пятиугольников и семиугольников не получается сумма вершин равной 39.

Теперь давайте рассмотрим значения \(x\) от 4 до 6:

\[
\begin{align*}
&x = 4: 5 \cdot 4 + 7y = 39 \Rightarrow 7y = 19 \Rightarrow y = \frac{19}{7}. \\
&x = 5: 5 \cdot 5 + 7y = 39 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = \frac{14}{7} = 2. \\
&x = 6: 5 \cdot 6 + 7y = 39 \Rightarrow 7y = 9 \Rightarrow y = \frac{9}{7}. \\
\end{align*}
\]

При значениях \(x = 5\) и \(x = 6\) мы получаем целочисленные значения для \(y\), равные 2 и 1 соответственно.

Таким образом, при \(x = 5\) получается, что Лена вырезала 5 пятиугольников и 2 семиугольника.

Проверим, соответствуют ли эти значения условию:

\(5 \cdot 5 + 7 \cdot 2 = 25 + 14 = 39.\)

Сумма вершин пятиугольников равна 25, а сумма вершин семиугольников равна 14. Оба значения в сумме дают 39 вершин, что удовлетворяет условию задачи.

Итак, Лена вырезала 5 пятиугольников и 2 семиугольника.