Сколько плоскостей, которые проходят через вершины параллелепипеда, параллельны прямой?

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим параллелепипед и попытаемся представить, какие плоскости могут проходить через его вершины и быть параллельными прямой.

Возьмем параллелепипед и выберем любую его вершину. Обозначим ее как A. Теперь выберем другую вершину, отличную от A, и обозначим ее как B. Построим прямую AB, соединяющую эти две вершины.

Для того чтобы плоскость была параллельна прямой AB, она должна быть параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости и пересекающей прямую AB.

Рассмотрим другую вершину параллелепипеда, отличную от A и B. Обозначим ее как C. Построим отрезок AC. Прямая AB и отрезок AC лежат в одной плоскости (в данном случае, плоскости ABC), так как обе они проходят через вершину A.

Таким образом, плоскости, проходящие через вершины параллелепипеда и параллельные прямой AB, являются плоскостями, проходящими через три вершины, формирующие треугольник ABC.

Изобразим все треугольники, которые можно образовать из вершин параллелепипеда. Каждый треугольник представляет собой плоскость, которая проходит через вершины параллелепипеда и параллельна прямой AB.

Очевидно, что для выбора первой вершины параллелепипеда у нас есть 8 вариантов. После выбора первой вершины, для выбора второй вершины у нас остается 7 вариантов (так как вторая вершина не может совпадать с первой). И, наконец, для выбора третьей вершины остается лишь 6 вариантов (поскольку третья вершина не может быть равной первой или второй).

Таким образом, общее количество плоскостей, которые проходят через вершины параллелепипеда и параллельны прямой AB, равно произведению количества вариантов для выбора каждой вершины:
\[8 \times 7 \times 6 = 336.\]

Итак, ответ на задачу составляет 336 плоскостей, которые проходят через вершины параллелепипеда и параллельны прямой.