Сколько пар неотрицательных чисел (x,y), где каждое из них меньше или равно 6π, удовлетворяет уравнению

Давайте разберем данную задачу пошагово.

Шаг 1:
Дано уравнение:
\((\tan x + c \tan y)^2 = (\tan x + 1)(c \tan y - 1)\)

Шаг 2:
Давайте преобразуем данное уравнение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\((\tan x + c \tan y)^2 = \tan^2 x + 2\tan x + 1 + c^2 \tan^2 y - 2c \tan y + 1\)

Шаг 3:
Данный шаг требует нам найти кратные решения. Введем новую переменную \(z = \tan x\), чтобы преобразовать уравнение:
\((z + c \tan y)^2 = z^2 + 2z + 1 + c^2 \tan^2 y - 2c \tan y + 1\)

Шаг 4:
Продолжим преобразование уравнения:
\(z^2 + 2cz \tan y + c^2 \tan^2 y = z^2 + 2z + 1 + c^2 \tan^2 y - 2c \tan y + 1\)

Шаг 5:
Сократим подобные слагаемые и упростим уравнение:
\(2cz \tan y = 2z + 2 - 2c \tan y\)

Шаг 6:
Разделим обе части уравнения на 2:
\(cz \tan y = z + 1 - c \tan y\)

Шаг 7:
Перенесем все слагаемые с \(z\) на одну сторону уравнения:
\(cz \tan y - z = 1 - c \tan y\)

Шаг 8:
Приравняем коэффициенты при \(z\) и при \(\tan y\):
\(cz - 1 = 1 - c\)

Шаг 9:
Решим данное уравнение относительно \(z\):
\(cz + c = 2\)

Шаг 10:
Разделим обе части уравнения на \(c\):
\(z + 1 = \frac{2}{c}\)

Шаг 11:
Избавимся от 1 на левой стороне уравнения:
\(z = \frac{2}{c} - 1\)

Шаг 12:
Перепишем \(z\) через \(\tan x\):
\(\tan x = \frac{2}{c} - 1\)

Шаг 13:
Из уравнения \(\tan x = \frac{2}{c} - 1\) мы можем найти значения \(x\), применяя обратную функцию тангенса, т.е. находим \(x = \arctan(\frac{2}{c} - 1)\).

Шаг 14:
Теперь нам нужно найти значения \(y\). Для этого воспользуемся изначальным уравнением, подставив найденное значение \(x\) и решим его.
\((\tan(\arctan(\frac{2}{c} - 1)) + c \tan y)^2 = (\tan(\arctan(\frac{2}{c} - 1)) + 1)(c \tan y - 1)\)

Шаг 15:
Сократим слагаемые с тангенсами и решим полученное уравнение:
\((\frac{2}{c} - 1 + c \tan y)^2 = (\frac{2}{c} - 1 + 1)(c \tan y - 1)\)

Шаг 16:
Продолжим упрощение уравнения:
\((\frac{2}{c} - 1 + c \tan y)^2 = (\frac{2}{c})(c \tan y - 1)\)

Шаг 17:
Произведем раскрытие скобок и упростим уравнение:
\(\frac{4}{c^2} - \frac{2}{c} + 2 \tan y - 2c \tan y + c^2 \tan^2 y = \frac{2}{c} \tan y - \tan y\)

Шаг 18:
Сократим подобные слагаемые:
\(\frac{4}{c^2} + 2 \tan y - 2c \tan y + c^2 \tan^2 y = \frac{2}{c} \tan y - \tan y \)

Шаг 19:
Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:
\(c^2 \tan^2 y - (2c + 1) \tan y + \frac{4}{c^2} = 0\)

Шаг 20:
Это квадратное уравнение относительно \(\tan y\). Мы можем применить дискриминант, чтобы найти количество корней уравнения. Дискриминант такого уравнения выражается формулой \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = c^2\), \(b = -(2c + 1)\), и \(c = \frac{4}{c^2}\).

Шаг 21:
Найдем \(D\):
\(D = (-(2c + 1))^2 - 4(c^2)(\frac{4}{c^2})\)

Шаг 22:
Упростим выражение:
\(D = 4c^2 + 4c + 1 - 16\)

Шаг 23:
Продолжим упрощение:
\(D = 4c^2 + 4c - 15\)

Шаг 24:
Теперь мы можем найти количество корней уравнения в зависимости от значения дискриминанта \(D\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня; если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень; если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, мы нашли общий аналитический подход к решению данной задачи. Теперь вы можете использовать найденные формулы для подсчета количества пар неотрицательных чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \((\tan x + c \tan y)^2 = (\tan x + 1)(c \tan y - 1)\) при условии, что каждое из чисел \(x\) и \(y\) меньше или равно \(6\pi\).