Сколько оборотов в минуту делает каждый из валов, если один из них делает на 400 оборотов в минуту больше другого

Для решения этой задачи нам потребуется использовать алгебру.

Обозначим через \(х\) количество оборотов в минуту первого вала, а через \(у\) количество оборотов в минуту второго вала.

Мы знаем, что первый вал делает на 400 оборотов в минуту больше, чем второй вал. То есть у нас есть первое уравнение:

\[x = y + 400\]

Также для каждых 5 оборотов первый вал затрачивает на 1 секунду меньше времени, чем второй вал. Из этой информации следует, что минимальное время на один оборот вала связано с количеством оборотов по формуле:

\[\frac{60}{x} = \frac{60}{y} + 1\]

Поскольку 1 минута содержит 60 секунд, мы можем выразить это уравнение в виде:

\[\frac{60}{x} = \frac{60}{y} + \frac{60}{60}\]

Упростив полученное уравнение, мы приходим к следующему:

\[\frac{60}{x} = \frac{60}{y} + 1\]

Теперь мы можем решить систему из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
x = y + 400 \\
\frac{60}{x} = \frac{60}{y} + 1
\end{cases}
\]

Теперь найдем решение этой системы.

Умножим оба значения первого уравнения на 60:

\[
60x = 60(y + 400)
\]

Раскроем скобки:

\[
60x = 60y + 24000
\]

Теперь у нас есть уравнение:

\[
60x - 60y = 24000
\]

Делим оба значения этого уравнения на 60:

\[
x - y = 400
\]

Теперь имеем систему:

\[
\begin{cases}
x - y = 400 \\
\frac{60}{x} = \frac{60}{y} + 1
\end{cases}
\]

Используя метод подстановки, мы можем выразить \(x\) через \(y\) в первом уравнении и подставить это значение во второе уравнение:

\[
\frac{60}{y + 400} = \frac{60}{y} + 1
\]

Домножаем оба значения на \(y(y + 400)\):

\[
60y = 60(y + 400) + y(y + 400)
\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
60y = 60y + 24000 + y^2 + 400y
\]

Упрощаем еще раз:

\[
0 = y^2 + 400y + 24000
\]

Теперь мы получили квадратное уравнение. Чтобы найти значения \(y\), мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

где \(a = 1\), \(b = 400\), \(c = 24000\).

Вычисляем дискриминант:

\[
D = 400^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24000 = 160000 - 96000 = 64000
\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня для этого уравнения.

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получим:

\[
y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-400 + \sqrt{64000}}{2 \cdot 1} = -200 + \sqrt{1600} = -200 + 40 = -160
\]

\[
y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-400 - \sqrt{64000}}{2 \cdot 1} = -200 - \sqrt{1600} = -200 - 40 = -240
\]

Применим полученные значения \(y_1\) и \(y_2\) для нахождения соответствующих значений \(x\):

\[
x_1 = y_1 + 400 = -160 + 400 = 240
\]

\[
x_2 = y_2 + 400 = -240 + 400 = 160
\]

Итак, у нас есть два возможных решения для задачи.

Первый вариант:
Первый вал делает 240 оборотов в минуту, а второй вал делает 160 оборотов в минуту.

Второй вариант:
Первый вал делает 160 оборотов в минуту, а второй вал делает 240 оборотов в минуту.

Проверим наши ответы, подставив значения \(x\) и \(y\) в уравнения, которые мы использовали ранее:

Для первого варианта, где \(x\) = 240 и \(y\) = 160:

\[
\frac{60}{240} = \frac{60}{160} + 1
\]

\[
\frac{1}{4} = \frac{3}{8} + 1
\]

\[
\frac{1}{4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Уравнение верно.

Для второго варианта, где \(x\) = 160 и \(y\) = 240:

\[
\frac{60}{160} = \frac{60}{240} + 1
\]

\[
\frac{3}{8} = \frac{1}{4} + 1
\]

\[
\frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

И это уравнение тоже верно.

Таким образом, наши ответы подходят под условия задачи. В первом варианте первый вал делает 240 оборотов в минуту, а второй вал делает 160 оборотов в минуту. Во втором варианте первый вал делает 160 оборотов в минуту, а второй вал делает 240 оборотов в минуту.