Сколько оборотов сделает маховик за время, в течение которого его частота вращения уменьшается с 120 об/мин

Для решения данной задачи, нам поможет закон сохранения углового момента. Угловой момент является величиной, равной произведению момента инерции и угловой скорости тела. В данном случае, угловой момент будет постоянным.

Для начала, определим момент инерции \(I\) маховика. Для простого диска, момент инерции можно вычислить по формуле:

\[I = \frac{1}{2}mR^{2}\]

где \(m\) - масса маховика, \(R\) - радиус колеса.

Далее, воспользуемся формулой углового момента:

\[L = I\omega\]

где \(L\) - угловой момент, \(\omega\) - угловая скорость.

Так как угловой момент постоянный, то можно записать:

\(L_1 = L_2\)

где \(L_1\) - угловой момент в начале, \(L_2\) - угловой момент в конце.

Распишем формулу углового момента для начального и конечного состояний маховика:

\(L_1 = I_1\omega_1\)

\(L_2 = I_2\omega_2\)

где \(I_1\) - момент инерции в начале, \(\omega_1\) - угловая скорость в начале, \(I_2\) - момент инерции в конце, \(\omega_2\) - угловая скорость в конце.

Так как момент инерции \(I\) маховика постоянный, то \(I_1 = I_2 = I\).

Мы знаем, что угловая скорость выражается через частоту вращения следующим образом:

\(\omega = 2\pi f\)

Заменим \(\omega_1\) и \(\omega_2\) в формулах для углового момента:

\(L_1 = I2\pi f_1\)

\(L_2 = I2\pi f_2\)

Так как \(L_1 = L_2\), то:

\(I2\pi f_1 = I2\pi f_2\)

Отсюда, можно выразить частоту вращения \(f_2\) в конечном состоянии:

\(f_2 = \frac{I2\pi f_1}{I2\pi}\)

Сокращая формулу, получим:

\(f_2 = f_1\)

Таким образом, мы видим, что частота вращения маховика не меняется при изменении его угловой скорости. Следовательно, маховик совершит один оборот за то же время, вне зависимости от изменения его частоты вращения.

Теперь перейдем к определению тангенциального ускорения точек на ободе колеса. Тангенциальное ускорение \(a_t\) связано с радиальным ускорением \(a_r\) и угловым ускорением \(\alpha\) следующим образом:

\(a_t = R\alpha\)

где \(R\) - радиус колеса.

Так как у нас дано уменьшение частоты вращения, то мы можем определить угловое ускорение \(\alpha\) следующим образом:

\(\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}\)

где \(\Delta\omega\) - изменение угловой скорости, \(\Delta t\) - изменение времени.

В данном случае, изменение частоты вращения \(\Delta f\) уже известно и равно \(f_1 - f_2 = 120 - 60 = 60\) об/мин. Переведем это значение в радианы в секунду:

\(\Delta\omega = 2\pi\Delta f\)

Подставим значения и рассчитаем изменение угловой скорости:

\(\Delta\omega = 2\pi\cdot60 = 120\pi\) рад/с.

Теперь, нам нужно знать, сколько времени \(\Delta t\) затрачено на изменение угловой скорости. Для этого воспользуемся формулой:

\(\Delta t = \frac{\Delta\omega}{\alpha}\)

Тангенциальное ускорение точек на ободе колеса \(a_t\) равно угловому ускорению \(\alpha\) умноженному на радиус колеса \(R\):

\(a_t = R\alpha\)

То есть, можно записать:

\(\Delta t = \frac{\Delta\omega}{a_t}\)

Подставим значения и рассчитаем время, затраченное на изменение угловой скорости:

\(\Delta t = \frac{120\pi}{R\alpha}\)

Для расчета тангенциального ускорения \(a_t\), используем формулу:

\(a_t = R\alpha\)

Подставим значение радиуса колеса \(R = 30 \, \text{см} = 0.3 \, \text{м}\) и найденное изменение угловой скорости \(\Delta\omega = 120\pi\) рад/с:

\(a_t = 0.3 \, \text{м} \cdot 120\pi \, \text{рад/с} = 36\pi \, \text{м/с}^{2}\)

Итак, изменение угловой скорости составляет \(120\pi\) рад/с, а тангенциальное ускорение точек на ободе колеса составляет \(36\pi\) м/с\(^{2}\).

Чтобы определить, сколько оборотов сделает маховик за это время, мы можем воспользоваться формулой для определения числа оборотов по частоте:

\(N = \frac{t}{T}\)

где \(N\) - число оборотов, \(t\) - время, \(T\) - период оборота.

Так как период оборота обратно пропорционален частоте вращения, то:

\(T = \frac{1}{f}\)

где \(f\) - частота вращения.

Заменим значение частоты вращения \(f\) на \(f_1\) и подставим в формулу для определения числа оборотов:

\(N = \frac{t}{\frac{1}{f_1}} = f_1t\)

Для определения времени \(t\) затраченного на изменение угловой скорости, воспользуемся соотношением:

\(t = \Delta t\)

Подставим значение \(\Delta t\):

\(N = f_1 \cdot \frac{120\pi}{R\alpha}\)

Подставим значения \(f_1 = 120\) об/мин, \(R = 0.3 \, \text{м}\) и \(\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{120\pi}{0.3 \cdot 36\pi}\) рад/с\(^{2}\):

\(N = 120 \cdot \frac{120\pi}{0.3 \cdot 36\pi}\)

Выполняя расчеты, получаем:

\(N = 10\) оборотов.

Таким образом, маховик сделает 10 оборотов за время, в течение которого его частота вращения уменьшается с 120 об/мин до 60 об/мин. Тангенциальное ускорение точек на ободе колеса составит \(36\pi\) м/с\(^{2}\).