Сколько натуральных чисел существует, у которых в их записи в шестнадцатеричной системе будет ровно три значимые цифры

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Чтобы найти количество натуральных чисел, удовлетворяющих условиям задачи, мы должны сначала понять, какие цифры являются значимыми в каждой системе счисления.

В шестнадцатеричной системе счисления у нас есть 16 возможных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Цифры A, B, C, D, E, F представляют значения 10, 11, 12, 13, 14, и 15 соответственно.

В восьмеричной системе счисления у нас есть 8 возможных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Теперь, чтобы определить, сколько натуральных чисел удовлетворяют условиям задачи, мы должны рассмотреть различные комбинации значимых цифр в каждой системе счисления.

Давайте посмотрим на количество комбинаций значимых цифр в каждой системе по отдельности:

- В шестнадцатеричной системе счисления есть 6 комбинаций из 3 значимых цифр из общего количества 16 возможных цифр. Это может быть любые 3 цифры из 16, поэтому количество комбинаций будет равно $C_{16}^3$, где $C$ обозначает биномиальный коэффициент. Мы можем вычислить его, используя формулу:

$$C_{16}^3=\frac{16!}{3!(16-3)!}$$

- В восьмеричной системе счисления есть 70 комбинаций из 4 значимых цифр из общего количества 8 возможных цифр. Это может быть любые 4 цифры из 8, поэтому количество комбинаций будет равно $C_8^4$. Мы можем вычислить его, используя формулу:

$$C_8^4=\frac{8!}{4!(8-4)!}$$

Теперь, чтобы найти количество натуральных чисел, удовлетворяющих обоим условиям одновременно, мы должны перемножить количество комбинаций в каждой системе счисления:

Количество натуральных чисел = $C_{16}^3\cdot C_8^4$

Давайте вычислим это:

$$C_{16}^3=\frac{16!}{3!(16-3)!}=\frac{16!}{3!13!}=\frac{16\cdot 15\cdot 14}{3\cdot 2\cdot 1}=560$$

$$C_8^4=\frac{8!}{4!(8-4)!}=\frac{8!}{4!4!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=70$$

Теперь, перемножим эти значения:

Количество натуральных чисел = $560\cdot 70=39200$

Таким образом, ответ на задачу составляет 39200 натуральных чисел.

Запишем этот ответ в десятичной системе счисления.

Ответ: 39200