Сколько натуральных чисел существует, у которых в их записи в шестнадцатеричной системе будет ровно три значимые цифры

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Чтобы найти количество натуральных чисел, удовлетворяющих условиям задачи, мы должны сначала понять, какие цифры являются значимыми в каждой системе счисления.

В шестнадцатеричной системе счисления у нас есть 16 возможных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Цифры A, B, C, D, E, F представляют значения 10, 11, 12, 13, 14, и 15 соответственно.

В восьмеричной системе счисления у нас есть 8 возможных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Теперь, чтобы определить, сколько натуральных чисел удовлетворяют условиям задачи, мы должны рассмотреть различные комбинации значимых цифр в каждой системе счисления.

Давайте посмотрим на количество комбинаций значимых цифр в каждой системе по отдельности:

- В шестнадцатеричной системе счисления есть 6 комбинаций из 3 значимых цифр из общего количества 16 возможных цифр. Это может быть любые 3 цифры из 16, поэтому количество комбинаций будет равно \(C_{16}^{3}\), где \(C\) обозначает биномиальный коэффициент. Мы можем вычислить его, используя формулу:

\[C_{16}^{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!}\]

- В восьмеричной системе счисления есть 70 комбинаций из 4 значимых цифр из общего количества 8 возможных цифр. Это может быть любые 4 цифры из 8, поэтому количество комбинаций будет равно \(C_{8}^{4}\). Мы можем вычислить его, используя формулу:

\[C_{8}^{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!}\]

Теперь, чтобы найти количество натуральных чисел, удовлетворяющих обоим условиям одновременно, мы должны перемножить количество комбинаций в каждой системе счисления:

Количество натуральных чисел = \(C_{16}^{3} \cdot C_{8}^{4}\)

Давайте вычислим это:

\[C_{16}^{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3!13!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560\]

\[C_{8}^{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70\]

Теперь, перемножим эти значения:

Количество натуральных чисел = \(560 \cdot 70 = 39200\)

Таким образом, ответ на задачу составляет 39200 натуральных чисел.

Запишем этот ответ в десятичной системе счисления.

Ответ: 39200