Сколько натуральных чисел, которые меньше 10000 в системе с основанием 16, имеют уникальные цифры?

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Представим числа в системе с основанием 16
Для понимания задачи, нам нужно представить числа в системе с основанием 16, также известной как шестнадцатеричная система. В этой системе используются 16 символов: цифры от 0 до 9 и буквы от A до F.

Шаг 2: Определим уникальные цифры
Чтобы число имело уникальные цифры, ни одна цифра не должна повторяться. Например, число 1234 имеет уникальные цифры, в то время как число 1224 - нет.

Шаг 3: Разобьем числа на категории
Давайте разобьем числа на категории в зависимости от количества цифр в числе. Начнем с чисел, состоящих из одной цифры, затем двух цифр и так далее, до чисел, меньших 10000.

Шаг 4: Рассмотрим числа с одной цифрой
В шестнадцатеричной системе счисления есть 16 возможных цифр (от 0 до F). Поскольку нам нужны уникальные цифры, оставляем только одну возможность для выбора цифры. Таким образом, имеется 16 чисел с одной уникальной цифрой.

Шаг 5: Рассмотрим числа с двумя цифрами
Для чисел с двумя цифрами в шестнадцатеричной системе счисления также есть 16 возможных цифр. Однако, данное число не должно иметь повторяющихся цифр. Таким образом, у нас есть 16 способов выбрать первую цифру, а для второй цифры мы можем выбрать любую из оставшихся 15 цифр (так как мы уже использовали одну цифру). Таким образом, имеется \(16 \times 15\) чисел с двумя уникальными цифрами.

Шаг 6: Рассмотрим числа с тремя цифрами
Аналогично предыдущему шагу, мы имеем 16 способов выбрать первую цифру, 15 способов выбрать вторую цифру и 14 способов выбрать третью цифру (так как мы уже использовали две цифры). Таким образом, имеется \(16 \times 15 \times 14\) чисел с тремя уникальными цифрами.

Шаг 7: Продолжаем рассмотрение для чисел с четырьмя цифрами
Продолжая аналогичное рассуждение, мы имеем 16 способов выбрать первую цифру, 15 способов выбрать вторую цифру, 14 способов выбрать третью цифру и 13 способов выбрать четвертую цифру (так как мы уже использовали три цифры). В итоге, имеется \(16 \times 15 \times 14 \times 13\) чисел с четырьмя уникальными цифрами.

Шаг 8: Окончательный ответ
Теперь нам остается просуммировать все числа, которые мы получили в каждом шаге. Итак, общее количество чисел, которые меньше 10000 в системе с основанием 16 и имеют уникальные цифры, можно определить следующим образом:
\[16 + 16 \times 15 + 16 \times 15 \times 14 + 16 \times 15 \times 14 \times 13 = 43680\]
Таким образом, существует 43680 натуральных чисел, меньших 10000 в системе с основанием 16, которые имеют уникальные цифры.