Какое значение основания системы счисления n, если число 68, записанное в системе счисления с основанием

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать информацию о числе 68 в системе счисления с основанием \(n\). Мы знаем, что число 68 записано в этой системе счисления как число, заканчивающееся на 2 и состоящее из 4 цифр.

Пусть последняя цифра числа 68 в системе счисления с основанием \(n\) будет обозначаться как \(a\). Тогда число 68 можно записать как \(4\cdot n^3 + a\cdot n^2 + 2\cdot n + 2\).

Также мы знаем, что число 68 в этой системе счисления состоит из 4 цифр, поэтому сумма показателей степеней основания должна быть равна 3. Представим число 68 в виде суммы степеней основания \(n\):

\[4\cdot n^3 + a\cdot n^2 + 2\cdot n + 2 = k_0\cdot n^3 + k_1\cdot n^2 + k_2\cdot n + k_3\]

Где \(k_0\), \(k_1\), \(k_2\) и \(k_3\) - цифры числа 68 в системе с основанием \(n\).

Теперь давайте решим это уравнение:

\[4\cdot n^3 + a\cdot n^2 + 2\cdot n + 2 = k_0\cdot n^3 + k_1\cdot n^2 + k_2\cdot n + k_3\]

Вычтем из обеих частей уравнения \(k_0\cdot n^3 + k_1\cdot n^2 + k_2\cdot n + k_3\):

\[4\cdot n^3 + a\cdot n^2 + 2\cdot n + 2 - (k_0\cdot n^3 + k_1\cdot n^2 + k_2\cdot n + k_3) = 0\]

Перегруппируем слагаемые:

\[(4 - k_0)\cdot n^3 + (a - k_1)\cdot n^2 + (2 - k_2)\cdot n + (2 - k_3) = 0\]

Так как это уравнение должно выполняться для любого значения \(n\), то коэффициенты при каждой степени должны равняться нулю.

Следовательно, получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} 4 - k_0 = 0 \\ a - k_1 = 0 \\ 2 - k_2 = 0 \\ 2 - k_3 = 0 \end{cases}\]

Решим каждое уравнение по отдельности:

\[4 - k_0 = 0 \Rightarrow k_0 = 4\]
\[a - k_1 = 0 \Rightarrow k_1 = a\]
\[2 - k_2 = 0 \Rightarrow k_2 = 2\]
\[2 - k_3 = 0 \Rightarrow k_3 = 2\]

Поскольку число 68 в системе счисления с основанием \(n\) состоит из 4 цифр, мы получаем, что \(k_0 + k_1 + k_2 + k_3 = 4\), тогда:

\[4 + a + 2 + 2 = 4\]
\[a + 8 = 4\]
\[a = 4 - 8\]
\[a = -4\]

Таким образом, ответ на задачу - число 68, записанное в системе счисления с основанием \(n\), равно \(4n^3 - 4n^2 + 2n + 2\), где \(n\) принимает любое значение, удовлетворяющее условию.