Сколько минут нужно Пете, чтобы перейти на следующий уровень в компьютерной игре? Петя начинает с нуля очков

Хорошо, давайте посмотрим, как можно решить эту задачу. Для начала, давайте посмотрим на очки, которые Петя будет получать каждую минуту.

Первая минута: 1 очко
Вторая минута: 2 очка (в два раза больше, чем в предыдущий раз)
Третья минута: 4 очка (в два раза больше, чем в предыдущий раз)
Четвертая минута: 8 очков
Пятая минута: 16 очков
И так далее.

Мы видим, что Петя будет получать очки в соответствии с арифметической прогрессией, где каждый следующий член больше предыдущего в два раза.

Для определения, во сколько минут Петя наберет 100000 очков, нам нужно просуммировать все очки.

\(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots\)

Здесь мы можем заметить, что это бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 2 и первым членом 1.

Сумма геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

\[S_n = \frac{{a_1(q^n - 1)}}{{q-1}}\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии.

В нашем случае первый член \(a_1 = 1\) и знаменатель \(q = 2\). Мы хотим найти сумму до тех пор, пока сумма не превысит 100000.

Подставим значения и найдем:

\[\frac{{1(2^n - 1)}}{{2-1}} > 100000\]

\[2^n - 1 > 100000\]

Теперь давайте решим это неравенство:

\[2^n > 100001\]

Чтобы найти наименьшее целое значение \(n\), для которого выполняется неравенство, мы можем использовать логарифмы.

\(\log_2(2^n) > \log_2(100001)\)

\(n\log_2(2) > \log_2(100001)\)

\(n > \frac{{\log_2(100001)}}{{\log_2(2)}}\)

Используя калькулятор, мы можем найти значение левой части равенства: \(\frac{{\log_2(100001)}}{{\log_2(2)}}\) ≈ 16.609.

Значит, Петя перейдет на следующий уровень после примерно 17 минут, так как мы используем только целые значения минут.