Сколько месяцев выпускали старую модель телефона, если во втором и предпоследнем месяцах было произведено в сумме

Дано, что во втором и предпоследнем месяцах было произведено в сумме 420 телефонов, а всего было выпущено 2310 таких телефонов за данный период.

Пусть x - количество месяцев, в течение которых выпускали старую модель телефона.

Из условия задачи, мы знаем, что во втором и предпоследнем месяцах было произведено в сумме 420 телефонов.

Таким образом, можно записать следующее уравнение:

\[420 = \left(\frac{x}{x-1}\right) + \left(\frac{x}{x+1}\right)\]

Для упрощения уравнения, мы можем умножить обе стороны на \((x-1)(x+1)\), чтобы избавиться от дробей:

\[420(x-1)(x+1) = x(x+1) + x(x-1)\]

Раскроем скобки:

\[420(x^2 - 1) = 2x(x-1)\]

Распишем левую и правую части:

\[420x^2 - 420 = 2x^2 - 2x\]

Теперь приведем подобные слагаемые в уравнении:

\[418x^2 + 2x - 420 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение. Чтобы его решить, можно воспользоваться формулой дискриминанта и квадратным корнем:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае, \(a = 418\), \(b = 2\), и \(c = -420\).

Подставим значения в формулу:

\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 418 \cdot -420}}{2 \cdot 418}\]

Вычислим значение под корнем:

\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 349440}}{836}\]

\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{349444}}{836}\]

Теперь найдем значение под корнем:

\[x = \frac{-2 \pm 592}{836}\]

Так как количество месяцев не может быть отрицательным, отбросим отрицательное решение.

\[x = \frac{-2 + 592}{836} = \frac{590}{836}\]

Данная дробь не является несократимой. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби:

\(\text{НОД}(590, 836) = 2\)

Теперь сократим дробь на НОД:

\[x = \frac{590 \div 2}{836 \div 2} = \frac{295}{418}\]

Таким образом, количество месяцев, в течение которых выпускали старую модель телефона, составляет \(\frac{295}{418}\) месяца.