Сколько лет? Дано: Радиоактивный образец с периодом полураспада 1000 лет и три четверти его ядер распалось. Решение

Для решения данной задачи, нам необходимо определить, сколько времени прошло с момента начала распада ядер образца до настоящего момента. Для этого мы можем использовать формулу экспоненциального распада:

\[N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

где \(N(t)\) - количество нераспавшихся ядер в момент времени \(t\), \(N_0\) - исходное количество ядер, \(T\) - период полураспада.

В данной задаче сказано, что три четверти (то есть \(3/4\) или \(75\%\)) ядер образца уже распалось. Это означает, что осталось \(25\%\) нераспавшихся ядер. Так как половина ядер распадается за один период полураспада, то оставшиеся \(25\%\) являются четвертью количества ядер, с которого началось.

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу и решить уравнение относительно \(t\):

\[\frac{N(t)}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} = 0.25\]

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0.5:

\[\log_{0.5}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} = \log_{0.5}(0.25)\]

Используя свойство логарифма \(\log_{a}(b^c) = c \cdot \log_{a}(b)\), получаем:

\[\frac{t}{T} \cdot \log_{0.5}(1) = \log_{0.5}(0.25)\]

Так как \(\log_{0.5}(1) = 0\), получаем:

\[\frac{t}{T} \cdot 0 = \log_{0.5}(0.25)\]

Умножение на 0 дает нам равенство 0 справа, поэтому уравнение просто упрощается до \(\log_{0.5}(0.25) = 0\).

Однако, мы знаем, что логарифм от числа между 0 и 1 (в данном случае 0.25) должен быть отрицательным. Так что, провал данного уравнения говорит нам о том, что мы сделали ошибку.

Чтобы исправить это, обратимся к свойству логарифма \(\log_{a}(b^c) = c \cdot \log_{a}(b)\) с отрицательным основанием:

\[\frac{t}{T} \cdot \log_{2}(\frac{1}{2}) = \log_{2}(0.25)\]

Используя то же свойство, получаем:

\[-\frac{t}{T} = \log_{2}(0.25)\]

Делим обе части уравнения на \(-\frac{1}{T}\):

\[\frac{t}{T} = -\frac{\log_{2}(0.25)}{1/T}\]

Теперь умножим обе части на \(T\):

\[t = -T \cdot \frac{\log_{2}(0.25)}{1/T}\]

Чтобы решить это, возьмем \(\log_{2}(0.25) \approx -2\) (так как \(2^{-2} = 0.25\)):

\[t = -T \cdot \frac{-2}{1/T} = 2T\]

Итак, теперь мы знаем, что возраст образца равен двум периодам полураспада, то есть 2000 лет.