Сколько корней имеет уравнение tg2x = tgx на интервале [ п/2 ; 3п/2

Данная задача связана с тригонометрией и решением тригонометрических уравнений. Для начала, давайте преобразуем уравнение tg2x = tgx:

tg2x = tgx,

Применим тригонометрическую формулу двойного угла для тангенса:

2tgx/(1-tgx^2) = tgx.

Перемножим обе части уравнения на (1-tgx^2), чтобы избавиться от знаменателя:

2tgx = tgx(1-tgx^2),

Раскроем скобки:

2tgx = tgx - tgx^3,

Приведем подобные слагаемые:

tgx - tgx^3 = 0,

Теперь, давайте приведем уравнение к квадратному виду:

tgx(1 - tg^2x) = 0.

Таким образом, у нас есть два условия, при которых уравнение будет равняться нулю:

1) tgx = 0,

2) 1 - tg^2x = 0.

Разберемся с каждым условием по очереди.

1) tgx = 0.

Тангенс равен нулю на значениях, когда аргумент синуса равен нулю:

x = k * п, где k - целое число.

В данном случае, рассматриваем интервал [п/2 ; 3п/2]. Подставим границы интервала и найдем общее количество корней:

x = п/2 или x = 3п/2.

2) 1 - tg^2x = 0.

Распишем это уравнение в виде:

1 = tg^2x,

tgx = ±1.

Тангенс равен ±1 на значениях, когда аргумент косинуса равен нулю:

x = (k + 1/4) * п/2, где k - целое число.

В интервале [п/2 ; 3п/2] при подстановке границ получим:

x = п/2 или x = 3п/2.

Итак, суммируя все корни, получаем:

x = п/2, 3п/2.

Ответ: уравнение tg2x = tgx на интервале [п/2 ; 3п/2] имеет два корня: п/2 и 3п/2.