1. Как можно распределить 4 театральных билета среди 20 студентов группы, если каждый студент может получить не более

1. В данной задаче нам нужно распределить 4 театральных билета среди 20 студентов группы так, чтобы каждый студент получил не более 2 билетов и все билеты были одинаковыми по значению.

Давайте посмотрим на условие и разделим его на несколько частей для удобства решения.

Часть 1: Определение количества студентов, которые получат по 2 билета.
Количество студентов, которые получат по 2 билета, может быть от 0 до 10.
$\text{Так как каждый студент может получить не более 2 билетов, то количество таких студентов не может превышать 10.}$

Часть 2: Определение количества студентов, которые получат 1 билет.
Количество студентов, которые получат по 1 билету, определяется разностью между общим количеством студентов и количеством студентов, получивших по 2 билета. Так как каждый студент может получить по 1 билету, после того как студенты без билетов и студенты с двумя билетами получили свои билеты, останется количество студентов, которые получат по 1 билету.

Часть 3: Определение количества студентов, которые не получат билеты.
Количество студентов, которые не получат билеты, определяется разностью между общим количеством студентов и суммой студентов, получивших по 2 билета и студентов, получивших по 1 билету.

Таким образом, у нас есть 3 варианта распределения билетов среди студентов по количеству билетов:
- Вариант 1: 10 студентов получают по 2 билета, 0 студентов получают 1 билет, 10 студентов не получают билеты.
- Вариант 2: 9 студентов получают по 2 билета, 2 студента получают 1 билет, 9 студентов не получают билеты.
- Вариант 3: 8 студентов получают по 2 билета, 4 студента получают 1 билет, 8 студентов не получают билеты.

Таким образом, ответ на задачу выглядит следующим образом:
- Вариант 1: 10 студентов получают по 2 билета, 0 студентов получают 1 билет, 10 студентов не получают билеты.
- Вариант 2: 9 студентов получают по 2 билета, 2 студента получают 1 билет, 9 студентов не получают билеты.
- Вариант 3: 8 студентов получают по 2 билета, 4 студента получают 1 билет, 8 студентов не получают билеты.

2. В данной задаче нам нужно распределить 2 билета в театр и 2 билета на концерт среди 20 студентов группы так, чтобы каждый студент получил не более 2 билетов и билеты на оба мероприятия были одинаковыми по значению.

Для решения задачи рассмотрим ее по частям:

Часть 1: Определение количества студентов, которые получат по 2 билета на театр.
Количество студентов, которые получат по 2 билета в театр, может быть от 0 до 10. Так как каждый студент может получить не более 2 билетов, то количество таких студентов не может превышать 10.

Часть 2: Определение количества студентов, которые получат по 1 билету на театр.
Количество студентов, которые получат по 1 билету в театр, определяется разностью между общим количеством студентов и количеством студентов, получивших по 2 билета на театр. Так как каждый студент может получить не более 2 билетов, после того как студенты без билетов и студенты с двумя билетами на театр получили свои билеты, останется количество студентов, которые получат по 1 билету на театр.

Часть 3: Определение количества студентов, которые получат по 2 билета на концерт.
Количество студентов, которые получат по 2 билета на концерт, может быть от 0 до 10. Так как каждый студент может получить не более 2 билетов, то количество таких студентов не может превышать 10.

Часть 4: Определение количества студентов, которые получат по 1 билету на концерт.
Количество студентов, которые получат по 1 билету на концерт, определяется разностью между общим количеством студентов и количеством студентов, получивших по 2 билета на концерт. Так как каждый студент может получить не более 2 билетов, после того как студенты без билетов, студенты с двумя билетами на театр и студенты с двумя билетами на концерт получили свои билеты, останется количество студентов, которые получат по 1 билету на концерт.

Таким образом, у нас есть несколько вариантов распределения билетов среди студентов по количеству билетов на театр и концерт:
- Вариант 1: 10 студентов получают по 2 билета на театр, 0 студентов получают 1 билет на театр, 10 студентов получают по 2 билета на концерт, 0 студентов получают 1 билет на концерт.
- Вариант 2: 9 студентов получают по 2 билета на театр, 2 студента получают 1 билет на театр, 9 студентов получают по 2 билета на концерт, 2 студента получают 1 билет на концерт.
- Вариант 3: 8 студентов получают по 2 билета на театр, 4 студента получают 1 билет на театр, 8 студентов получают по 2 билета на концерт, 4 студента получают 1 билет на концерт.

Таким образом, ответ на задачу выглядит следующим образом:
- Вариант 1: 10 студентов получают по 2 билета на театр, 0 студентов получают 1 билет на театр, 10 студентов получают по 2 билета на концерт, 0 студентов получают 1 билет на концерт.
- Вариант 2: 9 студентов получают по 2 билета на театр, 2 студента получают 1 билет на театр, 9 студентов получают по 2 билета на концерт, 2 студента получают 1 билет на концерт.
- Вариант 3: 8 студентов получают по 2 билета на театр, 4 студента получают 1 билет на театр, 8 студентов получают по 2 билета на концерт, 4 студента получают 1 билет на концерт.

3. Для нахождения алгебраического выражения для $(x+1{)}^4$ мы можем использовать формулу разложения бинома Ньютона.

Формула разложения бинома Ньютона:
$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n{b}^0+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+...+C_n^n{a}^0{b}^n$,
где $C_n^k$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применяя эту формулу, получаем:
$(x+1{)}^4=C_4^0{x}^4{1}^0+C_4^1{x}^3{1}^1+C_4^2{x}^2{1}^2+C_4^3{x}^1{1}^3+C_4^4{x}^0{1}^4$.

Вычислим биномиальные коэффициенты:
$C_4^0=\frac{4!}{0!(4-0)!}=\frac{4!}{0!4!}=\frac{1}{1}=1$,
$C_4^1=\frac{4!}{1!(4-1)!}=\frac{4!}{1!3!}=\frac{4}{1}=4$,
$C_4^2=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{6}{2}=3$,
$C_4^3=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4!}{3!1!}=\frac{4}{1}=4$,
$C_4^4=\frac{4!}{4!(4-4)!}=\frac{4!}{4!0!}=\frac{1}{1}=1$.

Подставляем значения биномиальных коэффициентов в выражение:
$(x+1{)}^4=1\cdot x^4\cdot 1^0+4\cdot x^3\cdot 1^1+3\cdot x^2\cdot 1^2+4\cdot x^1\cdot 1^3+1\cdot x^0\cdot 1^4$.

Упрощаем выражение:
$(x+1{)}^4=x^4+4x^3+3x^2+4x+1$.

Ответ:
$(x+1{)}^4=x^4+4x^3+3x^2+4x+1$.

4. Для нахождения алгебраического выражения для $(x+1{)}^5$ мы можем использовать формулу разложения бинома Ньютона.

Формула разложения бинома Ньютона:
$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n{b}^0+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+...+C_n^n{a}^0{b}^n$,
где $C_n^k$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применяя эту формулу, получаем:
$(x+1{)}^5=C_5^0{x}^5{1}^0+C_5^1{x}^4{1}^1+C_5^2{x}^3{1}^2+C_5^3{x}^2{1}^3+C_5^4{x}^1{1}^4+C_5^5{x}^0{1}^5$.

Вычислим биномиальные коэффициенты:
$C_5^0=\frac{5!}{0!(5-0)!}=\frac{5!}{0!5!}=\frac{1}{1}=1$,
$C_5^1=\frac{5!}{1!(5-1)!}=\frac{5!}{1!4!}=\frac{5}{1}=5$,
$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{10}{2}=5$,
$C_5^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{10}{2}=5$,
$C_5^4=\frac{5!}{4!(5-4)!}=\frac{5!}{4!1!}=\frac{5}{1}=5$,
$C_5^5=\frac{5!}{5!(5-5)!}=\frac{5!}{5!0!}=\frac{1}{1}=1$.

Подставляем значения биномиальных ко