Сколько комбинаций жюри может выбрать по три победителя в каждой номинации из 4 пианистов, 5 скрипачей и 8 баянистов

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится применить комбинаторику. В данном случае мы должны выбрать по три победителя в каждой номинации из 4 пианистов, 5 скрипачей и 8 баянистов, участвующих в конкурсе.

Для начала рассмотрим отдельно каждую номинацию и количество способов выбрать тройку победителей в каждой номинации.

- Для номинации "Пианисты" у нас есть 4 пианиста. Мы должны выбрать 3 победителя. Для этого воспользуемся формулой сочетания без повторений:
\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}},
\]
где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем. В нашем случае это будет:
\[
C(4, 3) = \frac{{4!}}{{3! \cdot (4-3)!}} = \frac{{4!}}{{3! \cdot 1!}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}} = 4.
\]

- Для номинации "Скрипачи" у нас есть 5 скрипачей, и мы должны выбрать 3 победителя:
\[
C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3! \cdot (5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}} = 10.
\]

- Для номинации "Баянисты" у нас есть 8 баянистов, и мы должны выбрать 3 победителя:
\[
C(8, 3) = \frac{{8!}}{{3! \cdot (8-3)!}} = \frac{{8!}}{{3! \cdot 5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 56.
\]

Теперь, чтобы получить общее количество комбинаций, умножим количество комбинаций для каждой номинации:
\[
4 \cdot 10 \cdot 56 = 2240.
\]

Таким образом, жюри может выбрать 2240 комбинаций тройки победителей в каждой номинации из 4 пианистов, 5 скрипачей и 8 баянистов, участвующих в конкурсе.