Сколько команд по 4 человека можно сформировать из класса, в котором учится 24 ученика, чтобы они участвовали

Данная задача о командах и их формировании относится к комбинаторике. Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся принципом с помощью факториалов. Для начала определимся со значением факториала. Факториал числа n обозначается n! и равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

\[n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n\]

В нашей задаче требуется сформировать команды по 4 человека из класса, в котором учится 24 ученика. Для этого нам нужно вычислить количество комбинаций из 24 по 4.

\(^{24}C_4\)

Формула для вычисления количества комбинаций из n по k выглядит следующим образом:

\(^nC_k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\)

Выполним вычисления:

\(^{24}C_4 = \frac{{24!}}{{4! \cdot (24-4)!}}\)

\(^{24}C_4 = \frac{{24!}}{{4! \cdot 20!}}\)

Для удобства вычислений, давайте посчитаем значение факториала 24!

\(24! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 20 \cdot 21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24\)

Перед тем, как выполнять умножение, давайте разделим это произведение на две части:

\(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 20\) и \(21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24\)

Аналогично выполняем разделение для факториала 4! и 20!

Теперь выполним вычисления:

\(24! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 20) \cdot (21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24)\)

\(4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\)

\(20! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 20\)

Теперь можно подставить полученные значения в формулу вычисления количества комбинаций:

\(^{24}C_4 = \frac{{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 20) \cdot (21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24)}}{{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 20)}}\)

Обратите внимание, что множители \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 20\) сокращаются в числителе и знаменателе, и мы можем их сократить:

\(^{24}C_4 = \frac{{(21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24)}}{{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)}}\)

Далее выполняем умножение и деление:

\(^{24}C_4 = \frac{{21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24}}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}}\)

\(^{24}C_4 = \frac{{10626}}{{24}}\)

\(^{24}C_4 = 442\)

Таким образом, из класса из 24 учеников можно сформировать 442 команды по 4 человека для участия в математической олимпиаде.