Сколько клеток в клетчатом прямоугольнике 2021 х 2022 было закрашено черным цветом после проведения диагонали?

Хорошо, давайте посмотрим на эту задачу шаг за шагом.

У нас есть клетчатый прямоугольник размером 2021 х 2022. Мы должны выяснить, сколько клеток в нем будут закрашены черным цветом после проведения диагонали. Для начала, нарисуем прямоугольник и проведем диагональ:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & & & \square & \square & \cdots & \square \\
& & & \square & \square & \cdots & \square & \\
& & \square & \square & \cdots & \square & & \\
& \square & \square & \cdots & \square & & & \\
\square & \square & \cdots & \square & & & & \\
\vdots & \vdots & & & & & & \\
\square & & & & & & & \\
\end{array}
\]

Теперь давайте посмотрим на полученную диагональ:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & & & \square & \square & \cdots & \square \\
& & & & & \square & \cdots & \square \\
& & & & & & \ddots & \vdots \\
& & & & & & & \square \\
\end{array}
\]

Заметим, что диагональ делит прямоугольник на две части: одну, где клетки закрашены, и другую, где клетки не закрашены. Закрашенные клетки находятся под линией диагонали.

Теперь мы можем заметить, что диагональ проходит через 2022 клетки, поскольку это точно такое же количество столбцов, как и у прямоугольника. Это означает, что по одну сторону от диагонали будет 2022 клетки.

Теперь, когда у нас есть это значение, давайте найдем количество закрашенных клеток. Для этого мы будем использовать формулу для нахождения суммы первых \(n\) натуральных чисел: \(S_n = \frac{n(n + 1)}{2}\).

В нашем случае, \(n = 2022\), поскольку у нас 2022 столбца. Подставляя значения в формулу, получим:

\[
S_{2022} = \frac{2022(2022 + 1)}{2} = \frac{2022 \times 2023}{2} = 2,045,833.
\]

Итак, количество закрашенных клеток в нашем прямоугольнике размером 2021 х 2022 после проведения диагонали будет равно 2,045,833 клеткам.

Я надеюсь, что мой ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их.