Сколько клеток можно безопасно расставить в ряд, чтобы не было трех подряд идущих клеток с животными одного вида?

Эта задача нам предлагает рассмотреть ситуацию, где мы имеем ряд клеток и нужно определить, сколько можно расставить этих клеток таким образом, чтобы не было трех подряд идущих клеток с животными одного вида.

Для начала рассмотрим случай, когда у нас есть только клетки с кошками. Пусть имеется \(n\) клеток с кошками. Мы можем представить это как последовательность символов, где "К" обозначает клетку с кошкой, а "П" обозначает пустую клетку. Наша задача - найти количество комбинаций символов "К" и "П", где нет трех подряд идущих "К".

Для начала, рассмотрим количество комбинаций, где нет двух подряд идущих "К". Если у нас есть только одна клетка с кошкой, то есть только одна комбинация: "К". Если у нас есть две клетки с кошками, то есть две комбинации: "КП" и "ПК". Если у нас есть три клетки с кошками, то уже нет таких комбинаций, где нет трех подряд идущих "К", так как все возможные комбинации будут иметь три подряд идущих "К".

Теперь рассмотрим количество комбинаций, где нет трех подряд идущих "К". Если у нас есть четыре клетки с кошками, то можно заметить, что количество комбинаций будет равно количеству комбинаций без трех подряд идущих "К" с тремя клетками плюс количество комбинаций без трех подряд идущих "К" с двумя клетками. Таким образом, получаем: комбинации_4 = комбинации_3 + комбинации_2 = 2 + 1 = 3.

Можно заметить, что для каждого \(n > 3\) количество комбинаций будет равно сумме количества комбинаций без трех подряд идущих "К" с \(n-1\) клетками и количества комбинаций без трех подряд идущих "К" с \(n-2\) клетками. То есть, комбинации_n = комбинации_(n-1) + комбинации_(n-2).

Теперь мы можем составить таблицу, чтобы рассмотреть как это работает:

| n | Количество комбинаций |
|-------|--------------------------|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |
| 5 | 8 |
| 6 | 13 |
| 7 | 21 |

Мы можем заметить, что количество комбинаций соответствует числам Фибоначчи. Таким образом, \(n\) -- количество клеток с кошками, а \(F(n+2)\) -- количество комбинаций для заданного числа клеток. Нам нужно найти наибольшее \(n\), для которого \(F(n+2) \leq n\). В таблице мы видим, что \(F(7) = 21\) и \(7 > 21\), поэтому максимальное безопасное количество клеток составит 6.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда у нас есть как клетки с кошками, так и клетки с собаками. Пусть \(n\) -- количество клеток с кошками, \(m\) -- количество клеток с собаками. Для безопасного размещения клеток, нам нужно рассмотреть все комбинации для каждого варианта количества клеток с кошками и собаками и выбрать наибольшее количество клеток без трех подряд идущих клеток одного вида.

Итак, проанализируем все возможные комбинации:

1. \(n = 0\) и \(m = 1\): Комбинация: "С". Ответ: 1.

2. \(n = 1\) и \(m = 0\): Комбинация: "К". Ответ: 1.

3. \(n = 0\) и \(m = 2\): Комбинация: "СС". Ответ: 2.

4. \(n = 2\) и \(m = 0\): Комбинация: "КК". Ответ: 2.

5. \(n = 1\) и \(m = 1\): Комбинации: "КС" и "СК". Ответ: 2.

6. \(n = 0\) и \(m = 3\): Комбинация: "ССС". Ответ: 3.

7. \(n = 3\) и \(m = 0\): Комбинация: "ККК". Ответ: 3.

8. \(n = 1\) и \(m = 2\): Комбинации: "КСС", "СКС" и "ССК". Ответ: 3.

9. \(n = 2\) и \(m = 1\): Комбинации: "ККС", "СКК" и "КСК". Ответ: 3.

10. \(n = 2\) и \(m = 2\): Комбинации: "ККСС", "СККС", "ССКС", "СССК", "КССК", "КСКС", "СКСК" и "ККСК". Ответ: 4.

Из всех комбинаций, мы видим, что наибольшее безопасное количество клеток составляет 4. Комбинации: "ККСС", "СККС", "ССКС", "СССК", "КССК", "КСКС", "СКСК" и "ККСК".

Таким образом, чтобы безопасно расставить клетки в ряд, мы можем использовать максимум 4 клетки.

Я надеюсь, что материал был достаточно подробным и обстоятельным для понимания задачи и решения школьником. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.