Сколько клеток было закрашено после проведения диагонали в клетчатом прямоугольнике размером 2021 x 2022?

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип разделения на случаи. После проведения диагонали в клетчатом прямоугольнике, мы можем заметить, что образуется два треугольника — один прямоугольный, а другой непрямоугольный.

Посмотрим на прямоугольный треугольник. У нас есть две стороны этого треугольника, которые называются катетами. Катеты представляют собой длину и ширину прямоугольника. В данном случае, длина составляет 2021 клетку, а ширина – 2022 клетки. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы (диагонали) этого треугольника.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\), справедливо уравнение:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае, длина гипотенузы равна длине диагонали прямоугольника, значит, \(c^2\) будет равна диагонали в квадрате. Подставим значения:

\[(\text{диагональ})^2 = (\text{длина})^2 + (\text{ширина})^2\]

\[(\text{диагональ})^2 = 2021^2 + 2022^2\]

\[(\text{диагональ})^2 = 4084441 + 4084484\]

просуммируем

\[(\text{диагональ})^2 = 8168925\]

Теперь найдем квадрат диагонали. Для этого возведем в квадрат обе стороны уравнения:

\[\text{диагональ} = \sqrt{8168925}\]

\[\text{диагональ} \approx 2859.83\]

Таким образом, длина диагонали прямоугольника размером 2021 x 2022 составляет около 2859.83 клеток.

Теперь, чтобы узнать, сколько клеток было закрашено после проведения диагонали, мы должны сложить количество клеток, находящихся внутри прямоугольника, и количество клеток, принадлежащих непрямоугольному треугольнику.

Площадь прямоугольника можно найти, умножив его длину на ширину:

\[\text{Площадь прямоугольника} = \text{длина} \times \text{ширина} = 2021 \times 2022\]

\[\text{Площадь прямоугольника} = 4084442\]

Теперь найдем площадь прямоугольного треугольника. Формула для площади треугольника:

\[\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

В данном случае, основанием является длина прямоугольного треугольника (длина диагонали), а высота равна ширина прямоугольного треугольника (ширина диагонали):

\[\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{длина диагонали} \times \text{ширина диагонали}\]

\[\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times 2859.83 \times 2859.83\]

\[\text{Площадь треугольника} \approx 4095918.76\]

Таким образом, общая площадь закрашенных клеток после проведения диагонали составляет около 4095918.76 квадратных клеток.