Сколько карандашей, включая красные, находится в коробке, если известно, что вероятность наугад выбрать два карандаша

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть общее количество карандашей в коробке - это \(x\), а количество красных карандашей - это \(y\).
Мы знаем, что вероятность наугад выбрать два карандаша из этой коробки равна 2/11.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для вычисления вероятности наступления события:

\[
P = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество возможных исходов}}}}
\]

В нашем случае, положительный исход - это выбор двух карандашей, исключая цвет, а общее количество исходов - это общее количество карандашей в коробке.

Таким образом, количество благоприятных исходов равно выбору двух карандашей из коробки, исключая цвет. Это можно записать как \(\binom{{x - 2}}{{2}}\), где \(\binom{{n}}{{k}}\) - это количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\).

Общее количество исходов равно выбору двух карандашей из полного количества карандашей в коробке. Это можно записать как \(\binom{{x}}{{2}}\).

Из условия задачи, вероятность выбрать два карандаша равна 2/11, поэтому мы можем записать:

\[
\frac{{\binom{{x - 2}}{{2}}}}{{\binom{{x}}{{2}}}} = \frac{{2}}{{11}}
\]

Теперь, чтобы решить этое уравнение, мы можем раскрыть биномиальные коэффициенты:

\[
\frac{{\frac{{(x - 2)!}}{{2! (x - 4)!}}}}{{\frac{{x!}}{{2! (x - 2)!}}}} = \frac{{2}}{{11}}
\]

Здесь факториалы \(x!\) и \((x - 2)!\) представляют произведение всех положительных целых чисел от 1 до \(x\) и \(x - 2\) соответственно.

Упростив это уравнение, мы получим:

\[
\frac{{(x - 2)!}}{{(x - 4)!}} \cdot \frac{{2! (x - 2)!}}{{x!}} = \frac{{2}}{{11}}
\]

Теперь давайте сократим факториалы:

\[
\frac{{(x - 2)!}}{{(x - 4)!}} \cdot \frac{{2!}}{{x!}} = \frac{{2}}{{11}}
\]

Мы можем сократить \((x - 2)!\) с \((x - 4)!\) и \(2!\) с \(x!\):

\[
\frac{{1}}{{(x - 4)!}} \cdot \frac{{1 \cdot 2}}{{x(x - 1)}} = \frac{{2}}{{11}}
\]

Теперь мы можем переписать это уравнение:

\[
\frac{{2}}{{(x - 4)! \cdot x(x - 1)}} = \frac{{2}}{{11}}
\]

Мы можем упростить это дальше, умножая обе стороны на \((x - 4)! \cdot x(x - 1)\):

\[
2 = \frac{{2}}{{11}} \cdot (x - 4)! \cdot x(x - 1)
\]

Теперь давайте избавимся от дроби, умножая обе стороны на 11:

\[
22 = 2 \cdot (x - 4)! \cdot x(x - 1)
\]

Давайте продолжим упрощать это уравнение:

\[
11 = (x - 4)! \cdot x(x - 1)
\]

Мы можем видеть, что слева находится положительное целое число, равное 11, а справа - произведение трех множителей. Значит, один из этих множителей должен быть равен 1.

Так как \(x\), \(x-1\), и \((x-4)!\) являются положительными целыми числами, то единственной возможностью является \((x - 4)! = 1\).

Таким образом, мы находим, что \(x - 4 = 1\), и решаем это уравнение:

\[
x = 5
\]

Итак, в коробке находится 5 карандашей, включая красные.