Сколько карандашей, включая красные, находится в коробке, если известно, что вероятность наугад выбрать два карандаша

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть общее количество карандашей в коробке - это $x$, а количество красных карандашей - это $y$.
Мы знаем, что вероятность наугад выбрать два карандаша из этой коробки равна 2/11.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для вычисления вероятности наступления события:

$$P=\frac{\text{{количество благоприятных исходов}}}{\text{{общее количество возможных исходов}}}$$

В нашем случае, положительный исход - это выбор двух карандашей, исключая цвет, а общее количество исходов - это общее количество карандашей в коробке.

Таким образом, количество благоприятных исходов равно выбору двух карандашей из коробки, исключая цвет. Это можно записать как $(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-2}{2})$, где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ - это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$.

Общее количество исходов равно выбору двух карандашей из полного количества карандашей в коробке. Это можно записать как $(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2})$.

Из условия задачи, вероятность выбрать два карандаша равна 2/11, поэтому мы можем записать:

$$\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-2}{2})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2})}=\frac{2}{11}$$

Теперь, чтобы решить этое уравнение, мы можем раскрыть биномиальные коэффициенты:

$$\frac{\frac{(x-2)!}{2!(x-4)!}}{\frac{x!}{2!(x-2)!}}=\frac{2}{11}$$

Здесь факториалы $x!$ и $(x-2)!$ представляют произведение всех положительных целых чисел от 1 до $x$ и $x-2$ соответственно.

Упростив это уравнение, мы получим:

$$\frac{(x-2)!}{(x-4)!}\cdot \frac{2!(x-2)!}{x!}=\frac{2}{11}$$

Теперь давайте сократим факториалы:

$$\frac{(x-2)!}{(x-4)!}\cdot \frac{2!}{x!}=\frac{2}{11}$$

Мы можем сократить $(x-2)!$ с $(x-4)!$ и $2!$ с $x!$:

$$\frac{1}{(x-4)!}\cdot \frac{1\cdot 2}{x(x-1)}=\frac{2}{11}$$

Теперь мы можем переписать это уравнение:

$$\frac{2}{(x-4)!\cdot x(x-1)}=\frac{2}{11}$$

Мы можем упростить это дальше, умножая обе стороны на $(x-4)!\cdot x(x-1)$:

$$2=\frac{2}{11}\cdot (x-4)!\cdot x(x-1)$$

Теперь давайте избавимся от дроби, умножая обе стороны на 11:

$$22=2\cdot (x-4)!\cdot x(x-1)$$

Давайте продолжим упрощать это уравнение:

$$11=(x-4)!\cdot x(x-1)$$

Мы можем видеть, что слева находится положительное целое число, равное 11, а справа - произведение трех множителей. Значит, один из этих множителей должен быть равен 1.

Так как $x$, $x-1$, и $(x-4)!$ являются положительными целыми числами, то единственной возможностью является $(x-4)!=1$.

Таким образом, мы находим, что $x-4=1$, и решаем это уравнение:

$$x=5$$

Итак, в коробке находится 5 карандашей, включая красные.