Сколько граммов соли требуется взять из трехпроцентного и восьмипроцентного растворов, чтобы получить

Задача 1:

Для решения этой задачи воспользуемся методом алгебраического сложения. Предположим, что нам нужно взять $x$ граммов соли из трехпроцентного раствора и $y$ граммов соли из восьмипроцентного раствора.

У нас есть следующие данные:
Общий объем раствора: 260 г
Концентрация трехпроцентного раствора: 3%
Концентрация восьмипроцентного раствора: 8%

Мы хотим получить пятипроцентный раствор, поэтому концентрация соли в получившемся растворе будет равна 5%.

Теперь составим систему уравнений на основе закона алгебраического сложения:

$$\begin{array}{rl}x+y& =260\text{(уравнение 1)}\\ 0.03x+0.08y& =0.05\cdot 260\text{(уравнение 2)}\end{array}$$

Решим эту систему уравнений:

$$\begin{array}{rl}x+y& =260\text{(уравнение 1)}\\ 0.03x+0.08y& =13\text{(уравнение 2)}\end{array}$$

Умножим уравнение 1 на 0.03, а уравнение 2 на 100 для удобства вычислений и избавления от десятичных дробей:

$$\begin{array}{rl}0.03x+0.03y& =7.8\text{(уравнение 3)}\\ 3x+8y& =1300\text{(уравнение 4)}\end{array}$$

Вычтем уравнение 3 из уравнения 4:

$$\begin{array}{rl}3x+8y-(0.03x+0.03y)& =1300-7.8\\ 2.97x+7.97y& =1292.2\text{(уравнение 5)}\end{array}$$

Итак, мы получили новое уравнение, связывающее только переменные $x$ и $y$. Теперь решим это уравнение:

$$\begin{array}{rl}2.97x+7.97y& =1292.2\text{(уравнение 5)}\\ 2.97x+7.97y-2.97y& =1292.2-7.97y\\ 2.97x& =1292.2-7.97y\\ x& =\frac{1292.2-7.97y}{2.97}\end{array}$$

Теперь можем подставить это значение $x$ обратно в уравнение 1:

$$\frac{1292.2-7.97y}{2.97}+y=260$$

Решим это уравнение и найдем значение $y$:

$$y=959.6$$

Теперь можем найти $x$ из уравнения 1:

$$x=260-y=260-959.6=-699.6$$

Однако отрицательное значение $x$ не имеет смысла в контексте задачи. Поэтому можно сделать вывод, что для получения 260 г пятипроцентного раствора нам необходимо взять 959.6 г соли из восьмипроцентного раствора и $260-959.6=-699.6$ г соли из трехпроцентного раствора. Ответом будет $959.6$ г соли из восьмипроцентного раствора, а для трехпроцентного раствора задача не имеет решения.

Задача 2:

Для решения этой задачи мы должны найти число, удовлетворяющее двум условиям:

1. Сумма его цифр равна 8.
2. Оно больше числа, полученного из него путем перестановки цифр, на 18.

Предположим, что искомое число состоит из цифр $a$ и $b$.

Условие 1 позволяет нам записать уравнение:
$$a+b=8\text{(уравнение 1)}$$

Условие 2 позволяет нам записать второе уравнение:
$$10a+b=10b+a+18\text{(уравнение 2)}$$

Решим эту систему уравнений:

$$\begin{array}{rl}a+b& =8\text{(уравнение 1)}\\ 10a+b& =10b+a+18\text{(уравнение 2)}\end{array}$$

Переупорядочим уравнение 2:
$$9a-9b=18\text{(уравнение 3)}$$

Разделим уравнение 3 на 9:
$$a-b=2\text{(уравнение 4)}$$

Добавим уравнения 1 и 4:
$$2a=10$$

Теперь найдем значение $a$:
$$a=5$$

Подставим это значение обратно в уравнение 1:
$$5+b=8$$

Теперь найдем значение $b$:
$$b=3$$

Итак, мы нашли, что $a=5$ и $b=3$. Следовательно, искомое число равно 53.

Ответ: Искомое число, больше числа, полученного из него путем перестановки цифр, на 18 и сумма его цифр равна 8, равно 53.

Задача 3:

Для решения этой задачи воспользуемся подходом, основанным на системе уравнений.

Обозначим расход горючего для первого трактора как $x$ литров в час, а для второго трактора как $y$ литров в час.
Также известно, что суммарный расход горючего составляет 168 литров.
Имеется также дополнительная информация: расход первого трактора на один литр в час меньше, а время его работы на 2 часа больше, чем у второго трактора.

Составим систему уравнений на основе этих данных:

$$\begin{array}{rl}x+y& =168\text{(уравнение 1)}\\ x-y& =2\text{(уравнение 2)}\end{array}$$

Добавим уравнения 1 и 2:
$$2x=170⟹x=85$$

Теперь найдем значение $y$ подставив найденное значение $x$ в уравнение 1:
$$85+y=168⟹y=83$$

Итак, мы нашли, что первый трактор имеет расход горючего в 85 литров в час, а второй трактор - в 83 литра в час.

Ответ: Расход горючего в час для первого трактора составляет 85 литров, а для второго трактора - 83 литра.