Сколько граммов соли требуется взять из трехпроцентного и восьмипроцентного растворов, чтобы получить

Задача 1:

Для решения этой задачи воспользуемся методом алгебраического сложения. Предположим, что нам нужно взять \(x\) граммов соли из трехпроцентного раствора и \(y\) граммов соли из восьмипроцентного раствора.

У нас есть следующие данные:
Общий объем раствора: 260 г
Концентрация трехпроцентного раствора: 3%
Концентрация восьмипроцентного раствора: 8%

Мы хотим получить пятипроцентный раствор, поэтому концентрация соли в получившемся растворе будет равна 5%.

Теперь составим систему уравнений на основе закона алгебраического сложения:

\[
\begin{align*}
x + y &= 260 \quad \text{(уравнение 1)} \\
0.03x + 0.08y &= 0.05 \cdot 260 \quad \text{(уравнение 2)}
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений:

\[
\begin{align*}
x + y &= 260 \quad \text{(уравнение 1)} \\
0.03x + 0.08y &= 13 \quad \text{(уравнение 2)}
\end{align*}
\]

Умножим уравнение 1 на 0.03, а уравнение 2 на 100 для удобства вычислений и избавления от десятичных дробей:

\[
\begin{align*}
0.03x + 0.03y &= 7.8 \quad \text{(уравнение 3)} \\
3x + 8y &= 1300 \quad \text{(уравнение 4)}
\end{align*}
\]

Вычтем уравнение 3 из уравнения 4:

\[
\begin{align*}
3x + 8y - (0.03x + 0.03y) &= 1300 - 7.8 \\
2.97x + 7.97y &= 1292.2 \quad \text{(уравнение 5)}
\end{align*}
\]

Итак, мы получили новое уравнение, связывающее только переменные \(x\) и \(y\). Теперь решим это уравнение:

\[
\begin{align*}
2.97x + 7.97y &= 1292.2 \quad \text{(уравнение 5)} \\
2.97x + 7.97y - 2.97y &= 1292.2 - 7.97y \\
2.97x &= 1292.2 - 7.97y \\
x &= \frac{1292.2 - 7.97y}{2.97}
\end{align*}
\]

Теперь можем подставить это значение \(x\) обратно в уравнение 1:

\[
\frac{1292.2 - 7.97y}{2.97} + y = 260
\]

Решим это уравнение и найдем значение \(y\):

\[y = 959.6 \]

Теперь можем найти \(x\) из уравнения 1:

\[x = 260 - y = 260 - 959.6 = -699.6 \]

Однако отрицательное значение \(x\) не имеет смысла в контексте задачи. Поэтому можно сделать вывод, что для получения 260 г пятипроцентного раствора нам необходимо взять 959.6 г соли из восьмипроцентного раствора и \(260 - 959.6 = -699.6\) г соли из трехпроцентного раствора. Ответом будет \(959.6\) г соли из восьмипроцентного раствора, а для трехпроцентного раствора задача не имеет решения.

Задача 2:

Для решения этой задачи мы должны найти число, удовлетворяющее двум условиям:

1. Сумма его цифр равна 8.
2. Оно больше числа, полученного из него путем перестановки цифр, на 18.

Предположим, что искомое число состоит из цифр \(a\) и \(b\).

Условие 1 позволяет нам записать уравнение:
\[a + b = 8 \quad \text{(уравнение 1)}\]

Условие 2 позволяет нам записать второе уравнение:
\[10a + b = 10b + a + 18 \quad \text{(уравнение 2)}\]

Решим эту систему уравнений:

\[
\begin{align*}
a + b &= 8 \quad \text{(уравнение 1)} \\
10a + b &= 10b + a + 18 \quad \text{(уравнение 2)}
\end{align*}
\]

Переупорядочим уравнение 2:
\[9a - 9b = 18 \quad \text{(уравнение 3)}\]

Разделим уравнение 3 на 9:
\[a - b = 2 \quad \text{(уравнение 4)}\]

Добавим уравнения 1 и 4:
\[2a = 10\]

Теперь найдем значение \(a\):
\[a = 5\]

Подставим это значение обратно в уравнение 1:
\[5 + b = 8\]

Теперь найдем значение \(b\):
\[b = 3\]

Итак, мы нашли, что \(a = 5\) и \(b = 3\). Следовательно, искомое число равно 53.

Ответ: Искомое число, больше числа, полученного из него путем перестановки цифр, на 18 и сумма его цифр равна 8, равно 53.

Задача 3:

Для решения этой задачи воспользуемся подходом, основанным на системе уравнений.

Обозначим расход горючего для первого трактора как \(x\) литров в час, а для второго трактора как \(y\) литров в час.
Также известно, что суммарный расход горючего составляет 168 литров.
Имеется также дополнительная информация: расход первого трактора на один литр в час меньше, а время его работы на 2 часа больше, чем у второго трактора.

Составим систему уравнений на основе этих данных:

\[
\begin{align*}
x + y &= 168 \quad \text{(уравнение 1)} \\
x - y &= 2 \quad \text{(уравнение 2)}
\end{align*}
\]

Добавим уравнения 1 и 2:
\[
2x = 170 \implies x = 85
\]

Теперь найдем значение \(y\) подставив найденное значение \(x\) в уравнение 1:
\[
85 + y = 168 \implies y = 83
\]

Итак, мы нашли, что первый трактор имеет расход горючего в 85 литров в час, а второй трактор - в 83 литра в час.

Ответ: Расход горючего в час для первого трактора составляет 85 литров, а для второго трактора - 83 литра.